2013 Fiscal Year Research-status Report
複数の場の相互作用を記述する非線形偏微分方程式の適切性と解の漸近挙動
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25400176
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
和田 健志 熊本大学, 自然科学研究科, 准教授 (70294139)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中村 誠 山形大学, 理学部, 教授 (70312634)
北 直泰 宮崎大学, 教育文化学部, 准教授 (70336056)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 非線形シュレディンガー方程式 / 解の時空間評価 / 偏微分方程式の適切性 |
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| Research Abstract |
本年度は主に，Schrodinger 方程式に対する一般化された Strichartz 型評価について研究した．Strichartz 型評価は方程式の解の大きさを時空間における積分の形で評価するものであり， Strichartz の1970年代の研究に始まって様々な結果が得られている．特に，1990年代半ばに Pecher によって証明された不等式は解の時間変数に関する滑らかさを時間変数に関する Besov 空間を用いて評価した不等式であり，Pecher はこれを用いることにより非線形 Schrodinger 方程式の適切性に関する結果を改善した．内園晴典氏と筆者は,Pecher によるオリジナルの証明にあったギャップを埋めるとともに，複雑な不等式をすっきりした形にまとめたが，依然としてスケール不変な形にはなっていなかったために，これらの不等式は臨界冪の非線形 Schrodinger 方程式に対しては適用することができなかった．そこで分担者の中村誠氏と筆者はこの評価式の改善に取り組み，スケール不変な形で Pecher 型の Strichartz 評価を改善することができた．それにより，空間次元が大きいため，臨界冪でかつ非線形項の滑らかさが低い場合にも，非線形 Schrodinger 方程式の小さいデータに対する初期値問題が時間大域的に適切であることを示すことができた．なお，現時点では考え得るすべての場合をカバーする結果とはなっていないので，さらに結果を洗練させるべく研究を継続したい．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度取り組んだ問題に関しては，完全な解決とは言えないが，おおよそ満足できるところまでは結果が出ており，残りの部分の解決にも時間はかからないと思われるため．
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| Strategy for Future Research Activity |
最新の研究動向を調べることを目的の一つとして各地で開催される研究集会に参加するとともに，研究分担者とを訪問または招聘し、研究討論を行う予定である．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
26年度からの異動が決まったため，年度末は多忙となり出張回数を減らさざるを得なかったため．
次年度使用額については，主に新所属先での研究環境の整備にあてる予定である．また，年度末に行えなかった研究連絡等にも使用する予定である．
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