2016 Fiscal Year Annual Research Report
Well-poshness and asymptotic behaviour of solutions to nonlinear partial differential equations describing interaction between several fields
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25400176
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| Research Institution | Shimane University |
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Principal Investigator |
和田 健志 島根大学, 総合理工学研究科, 教授 (70294139)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中村 誠 山形大学, 理学部, 教授 (70312634)
北 直泰 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 教授 (70336056)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 非線形偏微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
磁場を含む Schrodinger 方程式の平滑化評価，および Schrodinger 方程式に対する修正型 Strichartz 評価とその非線形問題への応用についての研究を行った．平滑化効果とは，方程式の解が初期データよりも滑らかになる現象であり，放物型方程式の典型的な性質であるが，Schrodinger 方程式など分散型波動方程式もやや弱い形でこの様な性質を持つことが一般に知られている．本研究では磁場を含む Schrodinger 方程式において，磁場の滑らかさが低い場合でも平滑化効果が成立することを不等式の形で示した．Strichartz 評価は発展方程式の解の時空間における可積分性を表現する不等式であり，一種の平滑化効果とも考えられる．このタイプの評価式は非線形偏微分方程式の適切性を証明する上で重要な役割を果たす．本研究では， Schrodinger 方程式に対する Strichartz 評価を時間に関する微分を含む形に修正し，それを用いて非線形 Schrodinger 方程式の適切性をほぼ最良と考えられる仮定のものに示した．
非線形方程式の初期値問題では，方程式の階数や初期条件の滑らかさ等から，臨界指数とよばれる非線形項の指数が定まる．前年度までの研究で，我々は初期データが小さい場合，及び非線形項の指数が臨界指数より小さい場合に初期値問題の適切性を証明した．最終年度は臨界冪で初期データの大きさが任意の場合の適切性を証明しようと研究に取り組んだ．これが解決できれば，非線形 Schrodinger 方程式の適切性についてはほぼ完全に解決すると考えられるが，技術的な困難から本年度中の解決には到らなかった．これを解決するべく来年度以降も研究を継続したい．
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