2013 Fiscal Year Research-status Report
実解析とエネルギー法による非有界領域上のNavier-Stokes 方程式の研究
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25400185
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
山崎 昌男 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20174659)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Navier-Stokes方程式 / 外部問題 / 安定性 / エネルギー法 / 解析的半群 |
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| Research Abstract |
以前の研究において、２次元外部領域におけるNavier-Stokes方程式について領域およびデータについての強い対称性を仮定して小さい定常解が一意的に存在することを示したが、今年度は、定常解の小ささとともに、遠方での減衰が標準的な場合には領域・定常解および摂動項により弱い対称性を仮定し、定常解の減衰が標準より強い場合には対称性の仮定なしに、初期摂動についての安定性を示した。特に初期摂動の大きさについては仮定は不要である。
手法として、まず摂動項についての積分方程式の時間局所的な解の一意存在を示し、これによって初期摂動が対称性をみたす場合は摂動項の対称性が時間発展しても保存されることを確認した。次いで摂動項について２種類のノルムを考え、それぞれの時間発展についての評価を用いて解が時間大域的であること，およびその２種類のノルムが時間が無限大に近づくときに０に収束することを示した。（論文印刷中）
次にノルムが０に近づく際の減衰の速さを精密に求めることを目標とした。この際に、Stokes作用素のスペクトル測度を用いてそのレゾルベントの平方根を表し、更に摂動項を２つの作用素の積の和として表示することによって、Stokes作用素に摂動項を加えた作用素のレゾルベントについてのLq-Lr評価を得、この評価をNeumann級数に適用することによってこの作用素の生成する解析的半群についてのL2評価を得た。次いで解をDuhamelの公式を用いて表示し、この表示にL2評価を適用して各種のノルムについて減衰の速さを求めた。この手法を用いるためには初期値の各種のノルムが十分小さい必要がなるが、このことは前節の結果より、ノルムが十分小さくなった時刻を改めて初期値と考えることによって正当化される。（論文印刷中）
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
定常解の価値は、その安定性を示すことによって初めて保証される。研究当初からその安定性は予想されていたが、摂動項の減衰に関する精密な評価が得られるかどうかは不明であった。今回、この評価が満足すべき形で得られたことは大きな収穫であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでのところ、摂動に関する安定性については十分満足すべき結果が得られたが、定常解の存在のための条件が非常に強い点については改善すべきであると思われる。先行研究では弱い対称性の下で定常解が得られているが、これらの定常解の一意性および安定性の研究は困難であると思われる。そのため、既に用いた強い対称性を一般化し、先行研究で用いられたものとは異なる適切な仮定を見いだし、その仮定の下での定常解の存在を示すことを目的とする。更にその安定性について，今年度の研究で用いた対称性の仮定の下での手法が、新たな対称性の下でも適用可能であることを示すことも目的となる。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
今年度得られた成果について、2014年度に海外で2回成果発表を行うため、海外渡航旅費を準備する必要があった。
2014年5月、マルセイユで成果発表
2014年8月、プラハで成果発表
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