2017 Fiscal Year Annual Research Report
proof-theoretic investigations of operations on sets
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25400193
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
新井 敏康 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (40193049)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 証明論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
集合論の演算子に関する研究としては、weakly compact cardinalをMahlo operationsの繰返しで証明論的に捉える結果を得た。またZermelo-Fraenkel集合論でその存在が証明できる可算順序数の限界をMostowski collapsingの繰返しで記述した。さらにreflecting ordinalsを反映する論理式の複雑さにより、ひとつ下のreflectionsで証明論的に近似する結果を得た。そして集合上で多項式時間計算可能関数を生成する計算規則を考案した。また直観主義論理上での不動点の存在は保存拡大になることを証明した。
最終年度に得られ、現在は印刷中もしくは投稿中の結果について次に記す。先ず順序数上の正則関数の微分の整列順序原理が、もとの関数の整列順序原理の可算モデルの存在と同値であることを示した。また2階論理でのカット消去のいくつかの証明を統一的に捉える視点を導入した。さらに、最小の非可算基数の集合論でのカット消去を順序の比較を除いて有限的手続きで証明した。そして自然数上の最小不動点の公理系の諸断片のうちで、可述的なものとそうでないものの境界線を確定し、また弱い公理系上でのパラメタ無しのcomprehension axiomの証明論的強さに関するA. Weiermannによる予想を否定的に解決した。つぎに再帰的到達不能順序数の集合論と同等である2階論理のカット消去をGentzen-Takeutiの方法を、Schuetteにならって拡張して示した。さらに集合上で多項式時間計算可能関数のみの存在を証明する公理系を導入して、その事実を証明した。
まとめると主として集合論の周辺での公理を証明論の手法により分析を行い、多くの結果を得て研究誌に発表するとともに国際研究集会において全体講演等を行った。
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