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2014 Fiscal Year Research-status Report

モデル理論におけるジェネリック構造の研究

Research Project

Project/Area Number 25400203
Research InstitutionKobe University

Principal Investigator

桔梗 宏孝  神戸大学, システム情報学研究科, 教授 (80204824)

Project Period (FY) 2013-04-01 – 2016-03-31
Keywordsジェネリック構造 / モデル完全 / グラフ / 有限構造の次元 / 近モデル完全
Outline of Annual Research Achievements

対数関数タイプの関数fのグラフy = f(x)とy=xで挟まれた領域に(大きさ、次元)の組が遺伝的にはいるような構造のクラスK_fを考える。グラフ構造Aに対し、Aの頂点数からAの辺の数に重みαをかけたものを引いた値をAの次元とする場合について次のような結果を得た。
重みαが1未満の正の有理数の場合、fについてある条件を仮定すると、K_fは融合クラスになり、K_fに対するジェネリック構造はモデル完全になる。fに関する仮定は次のようなものである。αが既約分数m/dの場合、f(x)+1/dは f(cx)以上である。ここで、cは2以上のある定数にとれる。αが1/2以下の場合は、c=2でよい。
Hrushovskiがジェネリック構成法(融合法)を編み出してLachlan予想の反例を構成したときに使用したのがK_fの形の融合クラスであった。ただし、このときのαは無理数である。無理数の場合への拡張は今後の課題である。
K_fの形の融合クラスから作られるジェネリック構造は可算範疇的になる。可算範疇的なジェネリック構造は必ずしもモデル完全にならないこともわかった。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

ジェネリック構造はモデル完全に近いということが知られているが、必ずしもモデル完全とは限らない。モデル完全になることがわかっている例はそれほど知られていなかった。初年度には3ハイパーグラフの場合で次元における重みを1にした場合、K_fのジェネリック構造がモデル完全になることを示した。グラフ構造の場合は、重みが1/2の場合が3ハイパーグラフにおいて重み1の次元を考えた場合に対応しているように思われる。一般の有理数を重みにした場合についても同様の結果を証明できたことは大きな前進と考えられる。

Strategy for Future Research Activity

次元関数の重みが1未満の正の任意の有理数の場合についてK_fに関する結果を得ているので、無理数についても有理数で近似して考えることで結果を得られそうな見通しがある。fに関する条件は重みが有理数であることに依存して決めているので、そこをどう自然な条件に直すかが課題である。組合せ論の研究者の協力も得ることにより、ハイパーグラフに関する研究への応用も視野に入れていく。また、今年の12月には米国のノートル・ダム大学のA. Pillay教授と韓国の延世大学のB. Kim教授らも招待して、京大数理解析研究所の共同研究集会で議論を行う予定である。

Causes of Carryover

2015年4月7日から4月10日にフランス・マルセイユ市のCentre International de Rencontres Mathematiquesで開催された研究集会Model Theory, Difference/Differential Equations and Applicationsへの渡航費等を確保するため。平成27年度は海外から2名ほど研究者を招聘する予定にしているので、平成27年度分だけですべてまかなうのは難しいと判断した。

Expenditure Plan for Carryover Budget

2015年4月7日から4月10日にフランス・マルセイユ市のCentre International de Rencontres Mathematiquesで開催された研究集会Model Theory, Difference/Differential Equations and Applicationsへの渡航費等に使用する。また、パリ・ディデロ大学のMartin Hils氏との研究打ち合わせのための宿泊費などにも使用する。

  • Research Products

    (5 results)

All 2015 2014

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 1 results,  Acknowledgement Compliant: 1 results) Presentation (3 results)

  • [Journal Article] Model complete generic structures2015

    • Author(s)
      Koichiro Ikeda, Hirotaka Kikyo
    • Journal Title

      Proceedings of the 13th Asian Logic Conference

      Volume: なし Pages: 114-123

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] Model complete generic graph I2015

    • Author(s)
      Hirotaka Kikyo
    • Journal Title

      京都大学数理解析研究所講究録

      Volume: 未定 Pages: 印刷中

  • [Presentation] Model complete generic graphs I2015

    • Author(s)
      桔梗宏孝
    • Organizer
      2015日本数学会年会
    • Place of Presentation
      明治大学駿河台キャンパス
    • Year and Date
      2015-03-21 – 2015-03-21
  • [Presentation] On model complete generic structures2014

    • Author(s)
      Hirotaka Kikyo
    • Organizer
      2014 RIMS Model Theory Workshop: Model theoretic aspects of the notion of independence and dimension
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所
    • Year and Date
      2014-11-27 – 2014-11-27
  • [Presentation] On model complete generic structures2014

    • Author(s)
      桔梗宏孝
    • Organizer
      2014日本数学会秋季総合分科会
    • Place of Presentation
      広島大学東広島キャンパス
    • Year and Date
      2014-09-28 – 2014-09-28

URL: 

Published: 2016-05-27  

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