2015 Fiscal Year Annual Research Report
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25400203
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
桔梗 宏孝 神戸大学, システム情報学研究科, 教授 (80204824)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 融合クラス / ジェネリック構造 / モデル完全性 / 任意存在形の公理化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限構造のクラスに対して、なるべく一般的な形で貼り合わせて構成されるものがジェネリック構造である。Hrushovskiがある構造を構成するのに利用したK_fと呼ばれるクラスがある。fは対数関数に似た関数で、上に凸、上に有界でない関数である。グラフあるいは超グラフAに対し、「δ(A)=Aの頂点数-α×Aの辺の数」と定義する。Aの任意の部分構造Bに対し、δ(B)≧f(|B|)が成り立つようなAの全体をK_fと書く。α=1で3超グラフのクラスK_fに対し、f(x)+1 ≧ f(2x) が成り立つ場合に、ジェネリック構造の満たす公理系がモデル完全という性質をもつこと示した。 超グラフの代わりに２項グラフのクラスK_fに対しては、αが有理数の場合に、fに関する同様の仮定のもとで、ジェネリック構造の満たす公理系がモデル完全になることも示した。αが有理数の場合はある種の極小0拡大と呼ばれる拡大が豊富に存在することが重要であった。拡大の最後にはδ階数がもとの構造と同じになるが、中間にある構造では真に大きくなる拡大が極小0拡大である。
αが無理数のときは0拡大はない。しかし、極小強拡大と極小固有拡大がたくさん存在することがわかった。BがAの極小強拡大とは、AとBの中間にあるグラフXに対し（ただしXはAでないとき）δ(A)<δ(X)であるが、δ(B)はその中で値が最小になっていることである。また、BがAの極小固有拡大とは、AとBの間にあるAでもBでもないグラフXに対しδ(A)<δ(X)であるが、δ(A)>δ(B)となることである。この事実を駆使すれば、αが無理数の場合もK_fのジェネリック構造の満たす公理系がモデル完全になることを示せる可能が高いと思われる。
全融合性(full amalgamation property)をもつ融合クラスに対するジェネリック構造の満たす公理系は任意存在形で表現できることが示せた。これは過去に得た結果を改善したものになっている。
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