2013 Fiscal Year Research-status Report
グラフの幾何構造が支配するグラフのスペクトル構造と酔歩の挙動の解析
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25400208
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Showa University |
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Principal Investigator |
樋口 雄介 昭和大学, 教養部, 講師 (20286842)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | グラフ理論 / スペクトル幾何 / ラプラシアン / 酔歩 / 状態密度函数 / 量子ウォーク |
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| Research Abstract |
本研究における主たるテーマは，グラフの持つ離散幾何構造が支配するグラフのスペクトル構造と酔歩の挙動の解析であるが，平成25年度は，とくにグラフ上の酔歩から誘導されるGrover walk や Szegedy walk といった典型的な類の量子ウォークを対象にして，ひとつは“量子グラフ”の散乱作用素を通した散乱振幅の言葉での確実な記述，もうひとつはグラフのスペクトル解析や酔歩の挙動解析で使われてきた道具を用いての量子ウォークの様々な挙動の解析に従事してきた．そこでは，日本おける量子ウォークの先駆者である横浜国立大学の今野紀雄氏，量子ウォークの若手研究者の東北大学の瀬川悦生氏，グラフ理論の専門家である小山高専の佐藤巌氏らと，各種議論を交わすことで，それぞれの方面からのアプローチを総合することができ，ある意味波動性に重きをおいた量子ウォークと，粒子性に重きをおいた古典的酔歩の関連について，スペクトル写像定理を媒介することで新規の発展が図れた．これらの結果によって，従来から愛媛大学の野村祐司氏や金沢大学の小栗栖修氏と継続研究をしている，グラフ上の作用素のスペクトル解析，とくに状態密度函数や解析接続したグリーン函数との関連が明白になり，今後の研究に向けての新たな課題や方向性をも明確にすることができた．一方，古典軌道といえるグラフの閉路の分布の情報を持つグラフのゼータ函数と量子ウォークとの間の連関も浮き彫りになりつつあり，現在その解析にも従事しているところである．古典力学と量子力学の両面の情報を併せ持つと考えられるグラフ上の量子ウォークには，まだまだいろいろな分野との関わりが予測されるため，可能な限り各種の研究集会に参加・講演することで，新たな研究者と知り合う可能性そして新たなアイディアの取得や励起の可能性をより高め，今後における潜在的な情報の取得にも努めてきたものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
グラフ上の作用素のスペクトル構造の理論的体系の構築，および，有限グラフ上の酔歩の被覆時間や量子ウォークの時間発展に関する理論構築のためには，まず多くの具体例を調べることも重要であり，当初は手計算では困難な具体例の計算を，まず数値計算による実験，ただしより優れた計算機による本格的実行の下準備および予備実験を手持ちの非力な PC を含めたPCを用いて行うことも予定に組みこんでいた．しかし，研究実績の概要に記述したように，量子ウォークの解析に関する議論が予想以上に発展し，計算機による実験に割く時間が極端に減少してしまった．
しかし，計算機実験はあくまでも理論構築のための具体例の取得であることに対して，一方理論面の発展は当初の予想をはるかに越えたものになったことを考えてみると，全体的には概ね順調に達成されていると思われる．その根拠としては，波動性を重視した量子ウォークといえども，粒子性を重視した酔歩の情報を持っているだろう，という状況証拠をあぶりだせれば良いだろうという当初の計画に対して，想像以上の進展が図れたためである．具体的には，Grover walk や Szegedy walk という特殊ではあるが典型的な量子ウォークに対して，酔歩との関連性，とくにそれぞれのスペクトル間に存在する密接な関連性の解明にとどまらず，派生的な発展作用素に対する関連性も統一した型で示すことができ，さらにはグラフゼータ函数に関する重要な情報を量子ウォークを通して引きだせたことがある．
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| Strategy for Future Research Activity |
まず平成26年度は，平成25年度の研究を基に量子グラフの時間発展やスペクトル構造とグラフの幾何的性質との相関関係をより明白にすることを目標とする．具体的には，被覆構造(とくに可換被覆)を持つグラフに関して以前に得られた酔歩やラプラシアンの構造解析の道具が，量子ウォークの遷移作用素のスペクトル構造もしくは極限分布に対してもどこまで有効であるか，そして改めて注目すべき部分が何であるか，などを明らかにしていきたい．その上で量子ウォークならではの独自性に関して深く切り込む道具を作成していくつもりである．そのためにも従来からの方向である解析，つまり，グラフ上の離散ラプラシアンなどの作用素のスペクトル集合の構成や状態密度函数の挙動などに，グラフの幾何がどのような影響を与えているのかをより詳細に解析していきたい．そこでは，解析接続したグリーン函数の挙動など，固有値のみならず共鳴状態(レゾナンス)の特徴付けなどを進展させることを意図している．また同時に，いままで未解決な双曲的無限グラフのスペクトルの決定やグラフに潜む曲率の炙り出しなどでの進展も図るつもりであり，そこには理論面での予想以上の発展によって平成25年度では後回しになりいささか遅れた感のある計算機実験下準備の遂行を行うことを含んでいる．
総合的には，推進方策の基本は平成25年度と変わらず，まずは目的達成もしくはそれ以上の結果を引き出すために多様な分野の研究者との密なる交流を図る．やはり可能な限り各種の研究集会に参加・講演することで，新たな研究者と知り合う可能性を高め，新たなアイディアの取得や励起の可能性をより高めていくつもりである．さらに必要に応じて，研究者を招聘した小さな研究会や勉強会を開催して，互いに刺激を与えながら次のステップに上っていこうとも考えている．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
理論面での議論が活発化し発展が予想以上であったために，当初想定していた理論面での行き詰まり解消や多角的な分析のための計算機実験に手が回らず，計算機関係の物品購入予算が余ってしまったことが主たる原因となっている．
理論構築が研究のメインテーマであることから，研究の全体的な進捗が滞っているわけではない．ただし，新たな見識を得るためには，手持ちの知識だけでは対応できなくなり，具体例を俯瞰することが必要となるステージが必ず来るものである．そのためにもやはり有限グラフ上の酔歩の挙動や量子ウォークの時間発展に関する，多くの具体例を調べることが重要であると考えている．まるまるの手計算では実質困難な例がほとんどである現状からも，計算機計算でいわば“あたり"をつけてから手計算に戻るという戦略，つまり数値計算による “実験” も並行して行うべく，平成25年度に予定していた手持ちの非力な PC を含めたPCを用いた予備実験(数値解析のソフトウェアの選択を含んだプログラムの作成)を，優れた計算機による本格的実行の下準備として計画している．
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Research Products
(7 results)
