2016 Fiscal Year Research-status Report
グラフの幾何構造が支配するグラフのスペクトル構造と酔歩の挙動の解析
| Project/Area Number |
25400208
|
|---|
| Research Institution | Showa University |
|---|
Principal Investigator |
樋口 雄介 昭和大学, 教養部, 講師 (20286842)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | 離散スペクトル幾何 / グラフ理論 / ラプラシアン / 酔歩 / 状態密度函数 / 量子ウォーク / 定常測度 / 共鳴状態 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
酔歩と密接に関連した離散ラプラス作用素や量子ウォークの発展作用素を代表とするグラフ上で定められる作用素のスペクトル構造と，それを制御するグラフの持つ幾何構造との相関関係をあぶり出すのが本研究の主題である．
当該年度では，瀬川悦生氏(東北大学)と，量子ウォークの長時間極限分布が今野分布と異なるタイプとなる1次元のモデル(Magnifier graph) の存在を示し，同時にこのモデルは「位相的絶縁体」の簡単なモデルになり得るという感触も得られた．また，グラフの持つサイクル構造が量子ウォークの局在状態を導く，という我々の研究に加えて，サイクルを持たない無限木においても局在状態が生じることも瀬川氏との共同研究で得られた．これは量子ウォークの“発生固有値”といわれるスペクトル構造が，グラフの幾何構造によって存在の可否が決定される “有限エネルギー流” によって支配されていることから得られるが，このことは従来の局在状態の解析も含んでいる結果となっている．あわせて，ディリクレ条件つきラプラス作用素を基礎にもつ量子ウォークの発展作用素は，量子探索のオリジナルといえるグローバー探索と深く関連していることも得られ，その一般化については継続して解析を行なっている．その他，鈴木彰斗氏(信州大)・瀬川氏との共同研究で，抽象空間における量子ウォークの一般化と，発展作用素と基礎となる判別作用素とのスペクトル構造を繋ぐジューコフスキ変換について詳細な解析を行った． なお，野村祐司氏(兵庫県立大学)小栗栖修氏(金沢大学)との継続した共同研究であるラプラシアンの共鳴状態の解明も，位置を定めた有限個のポテンシャルを持つ離散ラプラス作用素の埋蔵固有値および離散固有値の個数の分布を，ポテンシャルの強度の変化がなす代数多様体を用いて具体的表現に成功することで，さらなる発展をし，さらにその一般化に取り組んでいる．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
グラフ上の酔歩と量子ウォークの間をジューコフスキ変換で繋いだスペクトル写像定理の詳細，それによってラプラス作用素の共鳴状態との連関への道が拓けたこと，および，量子探索の原点ともいえるグローバー探索とディリクレ境界条件をもつラプラス作用素から誘導される量子ウォークとの連関が見えてきたこと，さらには野村小栗栖両氏らと，連続スペクトルの下端に登場する固有値が存続し続けるポテンシャルの摂動がなす多様体に関する特徴付けからさらに，固有値の個数と摂動のなす代数多様体の具体的構成に成功しつつあることは，当初予想した道筋を越えたものであり，全体的には順調に進展していると言ってよいだろう．
一方で，当該年度においても，理論面では着実に前進している感触が得られていたため，計算機を用いた数値実験から状況を確認する必要が少なく，ゆえに計算機に頼る時間が少なくなった．これは計算機を用いることで，副次的に計算科学や計算機を通した他分野に新たな知見を与える可能性があるという意味では，当該研究の応用面の貢献が多少遅れていることは認めざるをえない．
それゆえ現在までの達成度という意味では，理論面では着実な前進が継続しているものの予想を大きく上回る発展があったとは言い難く，最終年度にむけたことを考慮すれば，過年度と同様に計算機に関する部分が遅れ気味という部分を強調して，総合的にはやや遅れていると判断するものである．
|
| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度は，平成28年度までの研究に引き続き，「スペクトル構造とグラフの幾何的性質」というテーマの下で，とくに量子ウォークに附随する発展作用素と酔歩に附随するラプラス作用素をグラフの上での代表的な作用素として，それらのスペクトル構造とそれを支配するグラフの幾何的性質をより詳細に明らかにしていくつもりである．より具体的には，より一般の無限グラフでの共鳴状態と関連する埋蔵固有値のポテンシャルの摂動に対する存続性およびグリーン函数の挙動，さらには離散ラプラス作用素のスペクトル集合の構成や状態密度函数さらには共鳴状態の挙動などのグラフの幾何量での特徴づけ，未だ解決に至らない双曲的無限グラフのスペクトルの決定やグラフに潜む曲率の定式化，さらには四元数量子ウォークを含む一般の量子ウォークに対する局在状態のグラフの幾何での記述などと掲げておく．これらは「ラプラシアンの共鳴状態をもまとめて表したものが量子ウォーク」なる予想に関して，確実に情報が得られるはずであり，部分的にでも肯定的な結果を導出したい．同時に「トポロジカル絶縁体」の数学的解釈とモデルや，量子探索に関する数学的一般化についても挑んでいくつもりである．
総合的には，推進方策の基本は平成28年度以前と変わることない．目的達成もしくはそれ以上の結果を引き出すために，可能な限り各種の研究集会に参加・講演，さらには研究者を招聘した小さな研究会や勉強会を開催して，多様な分野の研究者との密なる交流を図り，新たなアイディアの取得や励起の可能性をより高めるつもりである．
|
| Causes of Carryover |
今年度の使用額は未決済分も含めるとほぼ年度予算額となっているので，次年度使用額として生じたものは平成26年度までの未使用額のうちとなっている．これは過年度までに繰越使用額が生じた最大の理由と同じく，理論面での研究の推移が多岐に渡り，かつ順調であるためで，それに伴って予備実験を含めた計算機実験に割く時間が減ってしまったことによる．今年度も幸いにも理論面の研究が着実に進展しており，したがって計算機に頼ることが後回しになり，遅れ気味の計算機に関する予算の支出を回復できなかった．以上が，ほぼ平成28年度に繰越した金額がそのまま次年度使用額になった概略である．
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
計算機関係の支出が遅れ気味ではあるものの，それは理論構築の面で高速な計算機実験に頼らずに，テーマ周辺の各種課題に対する研究が着実に進展していることの表れであり，つまり，支出の遅れが研究自体の総合的な進捗状況の遅れを意味するものではない．もちろん現在でも手持ちの非力な PC を含めたPCを用いた予備実験(数値解析のソフトウェアの選択を含んだプログラムの作成)は行っている．これはいずれ出会うステージの準備の為，つまり困難の壁を乗り越えるために，高速PCを用いた大規模な具体例の計算から知見を得ようとする時の為である．そのため，適宜計算用の最新型のPCのスペックをチェックし，効率的な予算使用を試む一方で，理論面の新たな展開が期待されるときなどは，研究者を招聘するなどの旅費の使用に振り替えることも考えている．いずれにしても，研究の着実な進展に対して効率的に予算を使用するつもりである．
|
Research Products
(3 results)
