2015 Fiscal Year Research-status Report
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25400212
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
田端 正久 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30093272)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 数値解析 / 特性曲線有限要素法 / 収束性と安定性 / 圧力安定化法 / ナヴィエ・ストークス方程式 / オセーン方程式 / 粘弾性流体 / ペターリン粘弾性モデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1.ビニールなどの高分子物質は粘性と弾性の両性質を持ち合わせており粘弾性流体と呼ばれる．ナヴィエ・ストークス(Navier-Stokes)方程式は粘性流体の運動を記述し未知関数は流速と圧力であるが，粘弾性流体を記述する代表的な方程式は，配座テンソルを未知関数として加えたオルドロイド(Oldroyd)-B方程式である．この方程式の大域解の存在は未解決で，その数値解析も非常に限られた結果しか得られていない．我々は，付加応力テンソルと配座テンソルがある非線形関係で表現されるペターリン粘弾性モデルの数値解析を行った．解析の手始めとして，流速場が既知であるオセーン(Oseen)型モデルに対して，圧力安定化ラグランジュ・ガレルキン(Lagrange-Galerkin)近似を用いた２種類のスキーム，線形と非線形，を開発した．両スキームに対して，有限要素解が厳密解に収束することを示した．線形スキームでは，配座テンソルの拡散性を仮定するが３次元問題にも結果は適用できる．非線形スキームの３次元問題への拡張は容易でないが，配座テンソルの拡散性は必要としない．両スキームは安定化ラグランジュ・ガレルキン法の特長であるところの，移流が支配的な状況での強靭性とすべての未知関数の１次要素近似を維持している．これらの結果は，オセーン型であることを除いて，一般的な枠組みで粘弾性問題の数値解析に成功したものであり，斬新なものである．
2.粘性流体の運動を記述するナヴィエ・ストークス方程式に対して開発したラグランジュ・ガレルキン法の解の収束性に関する論文が，ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis から公表された．この方法を，時間２次精度にしたスキームと，熱と連成した自然対流問題に適用したスキームの収束性を証明し，論文誌に投稿した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究課題「ガレルキン特性曲線有限要素法による数値解析の展開」を達成するために主要なポイントととして，ガレルキン特性曲線有限要素法（ラグランジュ・ガレルキン法とも呼ばれる）の解の収束性をナヴィエ・ストークス方程式に対して証明することを考えてきた．この点に関して，我々は昨年度，流速と圧力をともに三角形１次要素で近似する圧力安定化スキームで証明することに成功した．また，特性曲線有限要素法の唯一の問題点と考えられてきた合成関数項の数値積分が引き起こす不安定性に対しても，局所線形化流速手法を開発して，不安定性を解消することができた．今年度も引き続きその精密化と応用である，時間精度2次スキーム，熱と連成した自然対流問題への拡張を行った．更に，粘性流体の運動を記述するナヴィエ・ストークス方程式を超えて，新たに，粘弾性流体を取り扱うペターリンモデルに対しても結果を得ることができた．すなわち，オセーン型ペターリンモデルのための圧力安定化ラグランジュ・ガレルキン法を確立し，線形と非線形の二つのスキームを開発することができた．この方向への発展は，申請時の計画にはなく，ドイツ・マインツ大学のルカコバ教授らとの共同研究の成果として得られたものである．ペターリンモデルでは，流速，圧力の他に新たな未知関数として配座テンソルが加わる．その有限要素解の収束証明には，我々がナヴィエ・ストークス方程式で展開した方法が有用に使われている．圧力安定化法を用いているので，流速，圧力，配座テンソルのすべてに１次要素を使うことも実現している．
以上のように，研究は当初の計画以上に進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
1.2015年度には，申請時の研究計画になかった粘弾性流体問題の数値解析に大きな進展をみた．そこでは，粘弾性流体を記述するモデルの中で，付加応力テンソルが配座行列のある非線形関数として表現されるペターリンモデルを考え，そのオセーン型問題に対して，圧力安定化ラグランジュ・ガレルキン法に基づく線形と非線形の二つのスキームを作成し，その収束証明を与えるのに，かなりの労力と時間を使った．2016年度は，オセーン型ペターリンモデルでなく，本来の，非線形移流項に戻したペターリンモデルの数値解析をすることが，テーマのひとつである．同時に，最終年度に鑑み，次の事項もまとめておく．
2.我々は，ナヴィエ・ストークス問題の数値解法に関して二つの新しい結果をすでに得ている．一つは局所線形化流速法であり，これにより，特性曲線有限要素法に現れる合成関数項の積分に数値積分を用いることから生じる不安定性を解消したことであり，もう一つは安定化特性曲線有限要素であり，流速と圧力をともに三角形１次要素（３次元問題では四面体１次要素）を使うことを可能にした．それぞれについてスキームの収束性は証明済である．これら二つを結合した新しい計算スキームである局所線形化流速法による安定化特性曲線有限要素スキームの解析と実装を行う．この二つの組合せは特性曲線有限要素法で最適のものと考えられ，粘弾性流体のペターリンモデルや界面が現れる二流体問題にも適用して数値計算結果を得る．
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| Causes of Carryover |
購入予定していた物品の金額が不足したので，持ち越した．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本年度の研究計画全体の中で有用に使用する．
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