2015 Fiscal Year Research-status Report
エネルギースケール変形のテンソルネットワーク形式による繰り込み群解析
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25400401
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
西野 友年 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00241563)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | エネルキースケール / フラクタル / テンソルネットワーク / ＤＭＲＧ / 繰り込み群 / エンタングルメント / エントロピー / スケーリング |
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| Outline of Annual Research Achievements |
エネルギースケールの空間変調として、本年度は再帰的な変調に着目した。一例として、まずフラクタル構造を持つ２次元古典イジング模型の熱力学をテンソルネットワーク形式により数値解析した。フラクタル構造を持つ系は、これまでにもモンテカルロ法による数値解析が行われて来たが、系が階層構造を持つことから、考慮すべきスピン数が指数関数的に増大し、スケーリング解析に必要なデータ点数を系統的に得ることが困難であった。これに対し、計算手法そのものが階層的であるテンソルネットワーク形式の「ＴＥＲＧ法」と呼ばれる繰り込み群手法を用いることにより、系のサイズを無限大へと外挿する熱力学極限において、熱力学関数を定量的に推定することが可能となった。同手法では、繰り込み群変換を経るにつれてエンタングルメント・エントロピーが漸増して行く「角二重線描像」が計算の実効性を落とす、数値計算上の問題が起き得るが、フラクタル構造の下では相関のループバックが抑制されることにより、問題を回避することが可能である。計算の結果、得られた比熱は相転移点でピークを持たず、比熱の微分に特異性が明確に現れる、珍しい関数形を持っていることが判明した。この事実は、平面フラクタル格子上の古典統計モデルが、１次元以上２次元以下の「有効的な空間次元ｄ」を持つという、旧来の予測を定性的に肯定するものであった。しかし、観測された臨界指数は、格子のフラクタル次元をもとにハイパースケーリング仮説から導かれるものとは一致しない。また、フラクタル格子上の、各階層のクラスターから外部へと伸びるボンドの数から導かれる格子次元とも一致を見なかった。フラクタル的なエネルギースケール変形が、系の空間次元をどのように制御しているか、新たな数値計算をもとに、更なる解析が必要である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一様な２次元格子について、その熱力学を解析する問題に対しては、共形場理論が有効な計算手段であり、実現される臨界現象の普遍的な分類も完成している。一方で、ランダムな２次元格子が示す熱力学には、未解決な問題が多数横たわっている。両者の間に位置するものとして、空間的な併進対称性は存在しないものの、スケール普遍性を持つフラクタル系に着目したものが、直近の研究である。これは、エネルギースケール変形という「新しい一群の解析対象」の、新たなバリエーションの一つであると言える。フラクタル格子には様々な構成方法があり、それぞれが持つ空間次元（ハウスドルフ次元）も異なっている。この多様性の中で、系統的なスケーリング解析を行うために、幾つかの方策で問題解決にあたっている。まず、フラクタル格子を作る、基本的な単位の選び方を変えることにより、フラクタル次元を制御する方策について、予備的な数値解析を行ってみた。この試みには、大きな計算コストが必要であり、計算量の更なる圧縮について検討している。より現実的な選択肢として、フラクタル格子中に「より弱いボンド」を導入し、フラクタル次元の実効的な調整を行うことについて、数値データを集めている所である。サイト自由度として、イジング変数に加えて、３状態以上のポッツ変数の場合についても解析を行っている。また、相互作用として、ベクトル変数の内積で表されるクロック型のものも、検討している所である。このように、実存する計算機を用いて充分に熱力学解析が行えることがフラクタル系の特徴であり、繰り込み群的な階層との関係には興味深いものがある。
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| Strategy for Future Research Activity |
エネルギースケール変形という概念の発端となった「正弦２乗変形」について、共形場理論との関連が桂および奥西らを発端とする、複数の研究者によって明らかにされて来た。特に、ごく最近提唱された「双極量子化」の描像は、共形変換の直接的な帰結としてエネルギースケール変形が得られたという意味において重要である。一方、一様な２次元古典統計モデルを、テンソルネットワーク形式の一つであるＴＮＲ法で取り扱うと、臨界温度においてスケール不変なフラクタル格子上の多状態モデルが、共形場の制限された離散表現になっていることが判明している。従って、相互作用パラメター等の調整によっては、フラクタル格子にも共形という概念が存在するはずなのである。見方によっては、そもそも自己相似であるフラクタル格子が、共形性を持たないこと自体が謎であるとも言える。これらの点について、明確な概念を得る目的で、階層が上がるにつれて相互作用が強くなって行くフラクタル格子について、今後数値解析を進めて行く。量子系に目を転じると、量子・古典対応から、フラクタル的な経路積分表示を持つ量子系が、どのようなエネルギースケール変形を内在するものであるかという興味が生じる。これは、相互作用がフラクタル的であるという「単純な拡張」ではないことに注目したい。より視点を広げれば、そもそも指数的な相互作用変形がエネルギースケール変形の概念へ至る発端であったのであるが、この指数変形と共形的な考え方に接点がないか、数値解析・論理解析を通じて、調べて行きたい。また、数値解析の手段としての、テンソルネットワーク形式そのものについて、計算量を系が内在するエンタングルメントに即した下限まで圧縮することについて、今後も継続して取り組んで行く。
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