2016 Fiscal Year Annual Research Report
Dynamical barriers and quantum effects in Hamiltonian systems
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25400405
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
首藤 啓 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (60206258)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 非線形動力学 / ハミルトン系 / 混合位相空間 / 量子カオス / 半古典論 / 完全WKB解析 / カオス的トンネル効果 / ストークス幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
可積分な面積保存写像におけるトンネル効果を調べた。連続時間ハミルトン系においては，インスタントンと呼ばれる虚時間方向の複素軌道がそのトンネル過程を記述することが古くから知られているが，離散写像においてはあまりよく調べられていない。ここでは，Surisによって発見された，可積分な面積保存写像に対するトンネル効果を調べ，連続時間ハミルトン系には現ることのない，トンネル効果の異常が出現することを見出した。
多重井戸型ポテンシャル系および標準型ハミルトン系に対して，トンネル分裂の半古典解析に寄与する複素古典軌道のリーマン面上の基本群の観点から調べた。古典的には分断された領域（例えば，二重井戸ポテンシャル問題の２つの井戸）に対する古典量子化条件を調べ，それぞれの井戸に対する古典量子化条件は，実は独立に与えられるものではなく，古典軌道のリーマン面の無限遠点の留数が関係する非自明な関係式によって結ばれていることが明かになった。
不安定性をもたないものの軌道が拡散的に振る舞うある区分線形写像が，比較的一般的な状況下で，いわゆる劣拡散を示すことを既に我々は示したが，本年度は，この劣拡散を最も適切に記述する確率モデルを探った結果，軌道に対する適当の粗視化操作のもとで得られる時系列が，連続時間ランダムウォークモデルとフラクタル格子上のランダムウォークを組み合わせた確率過程の時系列と統計的な類似性をもつ事実を突き止めた。
半古典理論は，カオスを示す古典系と対応する量子系とを結びつける現在のところ最も有力かつ自然はものである。しかしながら，カオス系における半古典理論の有効性は未だ十分に確立された状況にはない。ここでは，エノン写像を用いて時間領域半古典論の有効性の検証を行った。現時点の予備的な解析の範囲でも，Tomsovic-Hellerが得た結論のいくつかには大きな疑義があることが判明した。
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