2013 Fiscal Year Research-status Report
2次元重力ポテンシャル下の等質量3体8の字運動の研究
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25400408
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
尾崎 浩司 東海大学, 清水教養教育センター, 准教授 (00407991)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松田 克己 東海大学, 清水教養教育センター, 准教授 (10297195)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 数理物理 / 2次元重力 / 三体問題 / 8の字解 / 3接線定理 / 3点定理 |
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| Research Abstract |
設定した研究実施計画は(1) 2次元重力ポテンシャル下の等質量8の字3体平面運動における高精度数値初期条件を決定すること(2)平面でなない3体運動において，3体の質量と軌道がわかっていて，1体の位置を定めたとき，他の2体の位置と運動を知ることができるという予想を証明すること の2点である．対応する成果は以下の通りである
(1) 2次元重力ポテンシャル下の等質量8の字3体平面運動における高精度数値初期条件には公表データが存在した，公表データは位置と速度について計12個の数値の組からなるが，8の字運動の初期条件を決定するのは実質的に2個のパラメータである．計画の方針をその2個のパラメータの決定に修正し，実際に高精度で2つのパラメータの数値を決定した．
(2) 空間の次元数だけ座標の変数を与えれば，平面運動の場合とまったく同様に証明できることが判明し，予想になっていないことが判明した．その一方で，予期しない成果として「重心が保存し，全角運動量がゼロでないような空間3体運動において，任意の時刻で全角運動量に平行な平面へと3接線を射影すると，それらは1点で交わる，もしくは、平行である」という定理を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2次元重力ポテンシャル下の等質量3体8の字運動の高精度数値初期条件を求めるつもりであったが、2007年度 静岡県立大学修士論文:著者 朱暁亮 にその値が示されていることを北里大学の福田宏氏から教えられた，朱氏が開発した数値初期条件を導出するアルゴリズムで，Newtonポテンシャル下の等質量3体8の字運動値初期条件を求めると，高精度で知られるSimoの初期条件に11桁まで一致する結果が得られる．これは朱氏の結果は高精度を裏付けるものである．等質量3体平面8の字運動の初期条件は2個のパラメータによって記述されるが，これらの値は，8の字解に関する重要な情報を含んでいる．高精度数値初期条件から，2つのパラメータ値を高い精度で定めた．
3体の質量と各軌道がわかっていて、1体の位置を決めると残り2体の位置と運動は一意的に定まるという3点定理が、3次元空間内の3体運動でも成立するという予想を証明することが課題の一つであった．空間の次元数だけ変数を増やせば、3点定理は3次元以上の一般次元でも証明されることが判明し，ほとんど自明なことを証明しようとしていたことが明らかになった．
一方で，これまで3接線定理(3体から引いた3本の接線が1点で交わるという性質)は3体の平面運動のみで成立すると考えてきたが，3次元空間の3体運動に拡張できることを明らかにした．この成果は、2014年夏のアメリカ数理科学国際会議(AIMS2014)で発表する予定である．
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| Strategy for Future Research Activity |
2次元重力ポテンシャル下の等質量3体8の字運動を複素平面上で扱い，運動方程式が満たすべき必要条件を調べることで，解析解への足がかりを探る，研究分担者の松田氏には、2次元複素射影空間を舞台に、8の字軌道への代数幾何学的アプローチをお願いする．
また，高精度数値計算のアルゴリズムを使って，3体の平面新周期解を探しつつ，3次元空間内の周期運動の探索も進めたい．
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Research Products
(2 results)
