2014 Fiscal Year Research-status Report
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25540009
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
竹村 彰通 東京大学, 情報理工学(系)研究科, 教授 (10171670)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
宮部 賢志 明治大学, 理工学部, 講師 (00583866)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 大数法則 / 重複対数の法則 / 脱ランダム化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ゲーム論的確率論は，Shafer and Vovk (2001) の本によって提唱されて以来，様々な技術的拡張が得られてきている．研究代表者(竹村)、分担者(宮部賢志)および協力者(竹内啓，公文雅之，笹井健行)によって以下のような成果が得られた．
1) ゲーム論的確率論におけるプレーヤーの一人である Reality の戦略に関しては，標準的な測度論的確率論では対応する概念が無いため，これまであまり詳しい研究がなされてこなかった．Reality の決定的な戦略は，アルゴリズムの分野では脱ランダム化に対応するものであり，ランダムに見える数列を決定的に作るという論理的にも困難な設定を必要とする．この問題に関して，Miyabe and Takemura (2014) "Derandomization in Game-theoretic Probability" でいくつかの具体的な結果を導出していたが，この結果は確率論に関する国際的なトップジャーナルの一つであるStochastic Processes and their Applications に掲載となった．
2) ゲーム論的確率論における重複対数の法則については Shafer and Vovk (2001) の本の第5章で基本的な結果が与えられているが，測度論的確率論における様々な重複対数法則の拡張のゲーム論的な解釈は興味ある研究テーマである．特に Erdos-Feller-Kolmogorov-Petrowsky (EFKP)型の拡張は非常に強い拡張を与えている．EFKP型の重複対数法則のゲーム論的証明については，笹井健行の修士論文のテーマとして取り組み，対称なランダムウォークの場合については「現在までの達成度」の項目に記載の結果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の項目に述べたように，以下のような具体的な研究成果が得られており，研究は順調に進展している．
1) ゲーム論的確率論におけるプレーヤーの一人である Reality の戦略に関して，Miyabe and Takemura (2014) "Derandomization in Game-theoretic Probability" にていくつかの具体的な結果を導出していたが，この結果が確率論に関する国際的なトップジャーナルの一つである Stochastic Processes and their Applications に掲載となった．
2) ゲーム論的確率論における重複対数の法則について笹井健行の修士論文のテーマとして取り組み，対称なランダムウォークの場合については以下の結果を得た．
"A game-theoretic proof of Erdos-Feller-Kolmogorov-Petrowsky law of the iterated logarithm for fair-coin tossing", Takeyuki Sasai, Kenshi Miyabe and Akimichi Takemura, http://arxiv.org/abs/1408.1790.
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで研究実績の項目に述べたような具体的な研究成果が得られたが，それらの成果に基づきさらに以下のような研究を推進する予定である．
1) ゲーム論的確率論における重複対数の法則の拡張について，一般のマルチンゲールの設定への一般化を目指す．
2) ゲーム論的確率論におけるプレーヤーの一人である Reality の戦略に関しては，標準的な測度論的確率論では対応する概念が無いために，これまであまり詳しい研究がなされて来なかった．この問題に関して，Miyabe and Takemura (2014) "Derandomization in Game-theoretic Probability"の結果を得たが，これはいまだに理論的な結果であり，実際の乱数列を決定的に作った時にどの程度の計算量が必要とされるかの定量的な評価が明らかではない．Reality の戦略の研究の余地は大きく，今後も研究を推進していく．
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| Causes of Carryover |
重複対数法則の拡張に関する結果の強化と国際学術誌投稿準備のため
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
重複対数法則の拡張については以下の結果を得たが，国際雑誌への投稿にはさらに結果を強化し，投稿論文として十分なものに整備する必要がある．
"A game-theoretic proof of Erdos-Feller-Kolmogorov-Petrowsky law of the iterated logarithm for fair-coin tossing", Takeyuki Sasai, Kenshi Miyabe and Akimichi Takemura, http://arxiv.org/abs/1408.1790.
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