2015 Fiscal Year Annual Research Report
小圏のコホモロジー論によるアソシエーションスキーモイドの研究
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25610002
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
栗林 勝彦 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (40249751)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | スキーモイド / モデル圏 / 関手圏 / 森田同値 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
アソシエーションスキーム(以下AS) は統計学の実験計画法の中で導入され, 1970 年代Delsarteにより符号理論や有限個の点の良い配置を考察するデザイン論と深く関連し発展してきた。その後, 代数的組合せ論の重要な研究対象となったこのアソシエーションスキームは研究代表者により圏論の立場から一般化され, それらは(準) (アソシエーション)スキーモイドと呼ばれている。本年度, 研究最終年は昨年度後半から進めた次の 1,2 の研究を完成させた。1. スキーモイドの圏にモデル圏の構造を入れ, ホモトピー論的考察が可能な体系を構築する。2. 隣接代数の一般化であるスキーモイド代数に圏論的表現論を適用し, 小さなスキーモイド代数の分類を行う。実際, 圏論的表現論とホモトピー論的手法の融合をさらに進めることで, 準スキーモイドからベクトル空間への適切な部分関手圏Functがアーベル圏であることがわかった。さらに従順スキーモイドの場合, 圏FunctにはMitchellの埋め込み定理が適用でき, そのスキーモイドのBose-Mesner代数の加群圏と圏同値になることを示すことができた。応用として, 加群圏の持つコファイブラントリー生成モデル圏構造の随伴関手による引戻しにより, Funct上のチェイン複体の圏にモデル圏構造を導入することができる。 またFunctを考えることで, スキーモイドの圏に森田同値の概念を導入できる。結果, n 次のバイナリーコードが作るHammingスキームをスキーモイドと考えた場合, それは位数２の巡回群から来るスキーモイドと大きさnに関係なく, 森田同値となることがわかった。群から来るASとHammingスキームがより大きな体系, スキーモイドの圏にまでいくと関連付けられるという, 興味ある結果を得たことになる。上述の結果は論文にまとめられ, Journal of Algebra から発行される。
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