2015 Fiscal Year Research-status Report
楕円曲面上の算術及びアーベル・ヤコビ写像とその応用
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25610007
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
徳永 浩雄 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (30211395)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
内山 成憲 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (40433172)
内田 幸寛 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (90533258)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 楕円曲面 / 整切断 / contact conic / Zariski 対 / 楕円曲線 / 不定方程式 / 暗号 / ペアリング |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度も引き続き楕円曲面の切断および多重切断の幾何学に関する研究を引き続き行った．当初は多重切断を与える因子の，特にその次数が2または3の因子の幾何学の研究を目指していた．しかしながら，楕円曲面の整切断とその数論的性質を用いた幾何学への応用に思わぬ展開があり，こちらを重点的に行った．さらに，楕円曲線の3等分点における接線を用いたZariski対の例に関する研究も行った．以下，少し具体的に述べる．有理楕円曲面の切断に関する幾何学は，大学院生とともに行った．3つの尖点をもつ既約4次曲線および，3つの通常2重点をもつ既約4次曲線（ともにQであらわす）について，Qに接する2次曲線Cを合わせた曲線C+Dの幾何学について考察を行った．Cは4次曲線から自然に生ずる有理楕円曲面のMordell-Weil群の生成元を与える整切断を２倍したものから自然に構成できることしめし，2倍であるという事実を定義方程式の特徴付け応用し，Zariski対に関する新たな知見を与えた．また，楕円曲線Eの3等分点（9個ある）とその接線の配置を用いたZariski対については，従来は，Eと3本の接線を組み合わせたものが知られていたが，今回は，接線の数が，4, 5, 6であるようなZariski対の構成に関する研究を開始した．この研究は，研究代表者を含めた4名（そのうちの１名は外国人）のグループによる共同研究でである．
２．分担者の内山はElliptic Nets と呼ばれる楕円曲線の新しい数論モデルを用いたペアリング計算の高速化，特に並列計算について考察を行った．また，秘密分散共有法と呼ばれる暗号方式で，楕円曲線を用いた新しい方式を提案し，その効率について評価した．
3. 分担者の内田は，ウェアリング問題や数値積分公式に関連した不定方程式の解の存在と準エルミート多項式の零点の有理性との関連を考察し，解の非存在性に関する結果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年より続けている楕円曲面の2重切断の幾何学については，これまでに得られた成果に関し，坂内真三とともに論文を準備中である．そのアイデアは，2重切断の「高さ」の類似物をMordell-Weil格子を用いて定義し，それを用いて2重切断を制御し，それを用いて4次曲線QとQに接する２次曲線の配置のトポロジーを考察したものである．
また，本年度は，H26年度の実施状況報告で述べたように研究代表者の以前の研究（Artal Bartoloと研究代表者が発表した論文 Zariski k-plets of rational curve arrangements and dihedral covers, Topology and its Applications 142(2004), 227-233）を洗い直すことから始めた．まず，contact conicの概念を定式化し，続いて計画通り，上記のにおいて与えた3つの通常特異点を持つ4次曲線と2次曲線に関するZariski対に対し，新たな幾何学的な特徴づけを与えることに成功した．また，3つの尖点をもつ4次曲線が無限個のquasi torus分解を持つという事実の別証明を与えた．これらの成果は「楕円曲面の整切断とそれを2倍したものが再び整切断となる」という条件を用いて楕円曲面を定義するWeierstrass方程式の特徴付けを与えるというアイデアを用いて証明された．2倍して得られる切断を求める部分はAbel-Jacobi写像の具体的な計算考えることができる．これらの，幾何学的応用は，楕円曲面のMordell-Weil群上の計算の応用としては，新たなものである．
内山は楕円曲線を利用した暗号やペアリングの研究で成果をあげており，内山は超楕円曲線のJacobian上の計算等で成果をあげている．
以上の状況から本研究は概ね順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は, 平成27年度までに得られた成果をまとめることに力を注ぎたい． 1. 坂内真三氏との共同研究である2重切断に関する研究について，現在準備中の論文では，2重切断DとDのAbel-Jacobi写像の像として定義される切断s(D)の 関係について，詳細に調べたのち，これを4次曲線とそのcontact conicが与える曲線配置のトポロジーに関する研究に応用することを目指している．2. 被約な代数曲線Bとそのcontact conic C が与えられたとき，Cに沿って 分岐する2次被覆へのBの引き戻しが 1) 二つの既約成分に分解する・しない，2)分解する場合は，そのホモロジークラスにおけるタイプを決定する, という問題が考えられる．この問題は，上でも引用したArtal Bartoloと研究代表者の2004年の論文から始まり，研究を続けているテーマである．平成27年度は大学院生との研究を通してBの次数が4の時に新たな視点を得た．この方針を生かしてBの次数が高い，すなわち，種数が高いファイバーをもつ曲線束を応用した研究へと進みたい．3. 平成27年度末に，楕円曲線Eとその変曲点における接線をいくつか加えた配置に関する研究を開始した．加える接線の数がk本のとき，k-Artal arrangementと呼ぶことにする．3-Artal arrangementに対してはArtal Bartoloが1994年の論文でZariski対の存在を示している．本研究の狙いは接線の本数を増やした場合である．combinatorial typeが同じk-Artal arrangementが与えられた際，これらのトポロジーを区別する手法のひとつとして本課題による研究成果のひとつである坂内真三と研究代表者が発表した2015年の論文にある手法の一般化を考えている．
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| Causes of Carryover |
公務のため予定していた出張等を取りやめたたため
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本年度は，成果発表をするべく出張をおこなう．
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