2013 Fiscal Year Research-status Report
指標多様体の組み合わせ的モデルとその群作用のダイナミクス
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25610010
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
大鹿 健一 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70183225)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
角 大輝 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (40313324)
金 英子 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80378554)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 指標多様体 / 力学系 |
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| Research Abstract |
以下のような研究を行った．
写像類群の自由群のPSL(2,C)への指標多様体への作用を考え，作用が真正不連続になる部分を決定する問題を考えた．この集合はSchottky空間を含むが，Schottky空間のpurely loxodromic群は全てこの集合に含まれており，さらにSchottky空間の任意の点は，離散だが忠実でない表現で，真正不連続領域に含まれる点列の極限としてかけることを示した．同様の研究を自由群以外の群に拡張することも試みて，端緒となるいくつかの結果を得ている．写像類群の作用の類型として，Teichmuller空間の境界として解釈できる様々な空間，組み合わせモデルへの作用を調べ，それと比較することにより進めている．
有理関数の半群の力学系とランダムな複素力学系の研究を行った．有理半群の力学系では, 主にJullia集合のHausdorff次元や，2元生成半群のパラメータ空間を調べ，ランダム複素力学系ではランダム性によりカオス性が弱まることを見た．
曲面の写像類群のエントロピーについて考察し，特に, (正規)エントロピーが小さい擬アノソフ写像類の構成法と, そのような擬アノソフ写像類の写像トーラスとして表れる3次元双曲ファイバー多様体について研究を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
指標多様体の写像類群の作用の力学系的考察は，まずは自由群の場合に真正不連続領域を決定する部分の研究に着手し，この領域の解明が進みつつある．この部分の研究は指標多様体でのダイナミクスの研究には不可欠であるので，ここが解明されつつあることは重要な成果である．さらにより一般の群の指標多様体を調べるための道具立てを準備できているのも重要な進展と言える．
曲面上の自己同相写像の位相的エントロピーを3次元多様体と結びつける研究は今後も発展の可能性がある．現段階では，最小体積とエントロピーの関係が明らかになりつつあり，今後の展開の為の重要なステップを構築できたと言える．
研究についての公表も国際研究集会を含めた数々の集会での発表が行われており，順調であると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
現在までの研究では指標多様体は自由群の場合のみを考えている．今後はより一般的な群についての研究に広げていきたい．まずは自由群に次いで重要な群である閉曲面群の場合から始めたい．閉曲面群の指標空間はTeichmuller空間，quasi-Fuchsian空間という，共に解析的な構造をもつ重要な対象を含んでいる．これらの空間への写像類群の作用や，その剛性は重要な性質で，これらが指標多様体のレベルで理解されれば大きな成果であると言える．まずはこの部分の研究に着手したい．
曲面の自己同相写像のエントロピーと3次元多様体の関連については，partially pseudo-Anosov写像と呼ばれる写像を合成した場合のgrowthを比較することを行い，genusと体積，エントロピー比の問題の本質的な部分を明らかにしたい．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
より複雑な指標多様体，特に閉曲面群の指標多様体の研究は来年度にまわしたため，この部分の研究に関わる海外出張を来年度になってから行うことにした．またコンピュータを導入して研究を進める必要がある部分については，この部分の研究を後回しにしたために，次年度以降に行うことになった．
2014年度前半に閉曲面群などの指標多様体の構造とダイナミクスの研究を進め，年度後半に韓国，フランスの共同研究者を訪ね，研究の仕上げを行う．さらに研究成果をKIAS, Strasbourg大学で発表する．このための海外出張費用が2014年度の旅費の主な部分となる．また研究に必要なコンピューターを導入するための物品費が必要となる．
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