2015 Fiscal Year Research-status Report
指標多様体の組み合わせ的モデルとその群作用のダイナミクス
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25610010
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
大鹿 健一 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70183225)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
角 大輝 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (40313324)
金 英子 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80378554)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Klein群 / 指標多様体 / 力学系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
大鹿は，Klein群の変形空間を指標多様体の部分空間としてとらえる視点を用いた研究を推進した．指標多様体には外部自己同型写像が変換群として作用する．そのダイナミクスを考えた．特に主たる変形空間の近傍での閉多様体に対応する表現の集積などの様子を記述することに成功した．またGromov双曲的群がconvergence群として作用するときに，non-conical limit pointをCannon-Thurston写像を用いて特徴付けることをJeon, Kapovich, Leningerとの共同研究で行った．またSullivan-Tukiaの測度剛性定理をCannon-Thurston写像を用い解釈することをJeonとの共同研究で行った．阪大の同僚である宮地との共同研究で，extremal lengthのmeasured lamination spaceにおける微分公式を与えて，その応用として，Thurstonのsymplectic formを用いた埋め込みについての新しい結果を得た．さらにTeichmuller空間のコンパクト化についての考察を深め，様々なコンパクト化の共通部分であるnull-set compactificationについての結果を得た．
角はリーマン球面上の正則写像のなす半群の力学系とランダム複素力学系の両者を交 錯させながら同時に発展させる研究を行った．その中で自然に現れる複素平面上 の特異関数や高木関数の複素平面上版を詳しく調べた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Klein群作用のダイナミクスを用いた研究については，Woojin Jeon氏との共同研究が一応の決着がつき，論文を出版することができた．その他の結果についても着実に論文を執筆，出版するとともに，様々な国際研究集会において，招待講演を行っている．
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| Strategy for Future Research Activity |
指標多様体については，今後閉多様体の分布状況についてより詳しい研究を開始する．具体的には，閉多様体に対応する表現が収束する場合の状況を完全に分類しようと考えている．さらに幾何学的群論の新しい手法を導入することにより，閉多様体に対応する表現を幾何的極限を用いて理解しようと考えている．これにはTeichmuller空間の様々な距離の組み合わせ的モデルについての考察を深め，quasi-isometric定数をgenusの関数として評価する必要がある．この部分の研究も進めたい．これらの研究を，現在招待されている，Strasbourg, 天津，シンガポールでの研究集会で順次発表し，また参加者と議論をすることにより新たな研究の方向を探る．
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| Causes of Carryover |
群作用のダイナミクスに関して，最近の幾何学的群論の発展にともない，新たにRight Angled Artin Groupや，Teichmuller空間のcombinatorial modelを用いた新しい手法が開発された．これを取り入れ，さらに研究の完成度が高いものにする必要があると感じ，研究を次年度まで継続し，この部分の研究を完成させたいと考えた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
5月から6月にかけてStrasbourg大学に出張し，成果発表を行うとともに，幾何学的群論の部分の研究を進める．7月には中国の天津での研究集会で，Teichmuller空間のcombinatorial modelを使った研究の部分を進展させる．8月のシンガポールの研究集会で，そこまでの成果を発表し，研究完成までの道のりをつける．年度後半は主に論文執筆に当てる．
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