2014 Fiscal Year Research-status Report
一般化された幾何構造と４次元微分トポロジー、導来圏の研究
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25610011
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
後藤 竜司 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30252571)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 一般化された複素構造 / ポアソン構造 / 一般化されたケーラー構造 / 導来圏の変形 / 非可換曲面 / ツイスター空間 / ４次元多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は一般化されたカラビーヤオ構造、一般化された複素構造に関して、研究を進めた. これらの幾何構造は研究代表者：後藤が確立した特殊な微分形式の定める幾何構造の理論が適用出来る重要な幾何構造である. 一般化された複素構造はポアソン幾何、非可換幾何、導来圏の変形、４次元多様体の微分トポロジーそして数理物理など、様々な分野との関連が示されている. これらとの関連をもっと明確にすることを目標に一般化された複素多様体の研究を進展させた. 具体的には、1. 複素曲面上の一般化された複素構造の変形とモジュライ空間の構成 2. 実４次元多様体上の一般化された複素構造の対数変換により構成 3. トーラス作用を用いた一般化されたカラビーヤオ構造の構成などを行い、これらの結果を論文にまとめて、Arxiv 上に発表し、また投稿した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度の研究では、複素曲面など、実４次元多様体上の一般化された複素構造の変形に関して、注目すべき結果が得られた. 一般化された複素構造には jumping locus というシンプレクティック構造が複素構造へとジャンプする集合がある. この集合が楕円曲線となっている場合、一般化された複素構造の変形は非障害的であり、さらに, その倉西族はjumping locus の補集合の第二次コホモロジー群で与えられるという結果である. これはカラビーヤオ多様体の変形がその第二次コホモロジー群で与えられるという結果に極めて類似している.
実際、この結果は、一般化された複素構造のモジュライ空間に自然な平坦な接続が存在することを示している.
一方、４次元多様体上の一般化された複素構造の存在問題は解決に至っていない. また、
導来圏の変形、非可換曲面の理論と一般化された複素構造の理論そして変形量子化などとの関連は未だに解明されていない.
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| Strategy for Future Research Activity |
1. 実４次元多様体上の一般化された複素構造のモジュライ空間と平坦接続
実４次元多様体上の一般化された複素構造の変形に関する上記の結果から、実４次元多様体上の一般化された複素構造のモジュライ空間には自然な平坦接続が定まることが分かる.この自然な平坦接続を徹底的に調べることを一つの目標としたい. 複素２次元射影空間や del Pezzo 曲面、Hirzebruch 曲面などの場合、モジュライ空間のコンパクトが構成できると思われる. これは 幾何学的不変式論 (Geometric invariant theory) など、複素幾何、代数幾何の手法で構成可能であるが、このモジュライ空間は平坦な接続が入ることなど、通常の複素多様体のモジュライ空間よりも豊かな幾何構造を持っており注目される. このモジュライ空間をコンパクト化したときに付け加えられる退化した幾何構造をもっと明確に決定したい. さらに、コンパクト化したモジュライ空間上で平坦な接続がどのように拡張されるか、そのモノドロミーなどを調べたい. 対数変換などを行い、シンプレクティック構造も複素構造も入らない一般化された複素多様体が構成されているので、この多様体上の一般化された複素構造の変形、モジュライ空間の構成を行いたい.
2. 複素３次元多様体の正則ポアソン構造と一般化された複素構造
複素３次元射影空間上の正則ポアソン構造は特異葉層構造と対応しており、興味深い分類が既に得られている. その分類に依れば、６種類のポアソン構造があり、それぞれが面白い幾何構造を与えている. これらのモジュライ空間の成分をそれぞれ構成し、コンパクト化を行いたい. これらの結果は、ある種のツイスター空間にも拡張されることが分かってきているので、ツイスター空間上の一般化された複素構造の変形、モジュライ空間の構成にも挑戦して行きたい.
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| Causes of Carryover |
２０１５年度に国際研究集会を二つ計画しており、その費用として使用するために、次年度使用額が生じている.
外国からの研究者を複数名招待するための旅費、宿泊費および、研究集会の会場費用、国内からの参加者旅費,宿泊費などに使用する.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
以下、二つの国際研究集会に使用する. (1) 第１１回日中友好幾何学研究集会２０１５年９月６日から９月１０日京都、奈良 (2)複素幾何研究集会２０１５年１０月２８日から１０月３１日 金沢.
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