2016 Fiscal Year Annual Research Report
Geometric study of potentials and optimal art gallery problem
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25610014
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
今井 淳 千葉大学, 大学院理学研究科, 教授 (70221132)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 美術館問題 / プログラミング / Riesz ポテンシャル / 正則化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の元々の主目的は、以下の二点であった。（１）ユークリッド空間のコンパクト領域Ωに対し、ある固定点ｘからの距離のｓ乗をその領域上積分したものを考える。ｓの値によっては積分が発散するが、その場合は積分を正則化して有限な値を取り出す。これで得られたものを、領域Ωの点ｘにおけるRieszポテンシャルと呼ぶ。このポテンシャルの性質の研究。（２）平面領域の部屋に、３６０度見渡せる監視カメラを何台か設置し、死角がないようにするには何台のカメラが必要か、という問題が美術館問題である。上のRieszポテンシャルの観点から、どの位置にカメラを設置するのが一番良いか、という最適美術館問題。
（２）の方は、問題がNP困難であることが分かったことと、その時点で一応のプログラムが完成したことにより、研究は昨年度中に完了した。（１）に関して今年度行った研究は以下の通り。(i) Rieszポテンシャルを定義する際に必要な発散積分の正則化を、超関数論で用いられる二つの方法、Hadamard正則化と解析接続を用いる方法で、より広い適用範囲（ユークリッド空間の部分多様体）に対してきちんと定式化した。(ii) Rieszポテンシャルを領域上積分して得られる量をRieszエネルギーとよぶ。４次元ユークリッド空間内の単位球面の中の結び目に対し、冪ｓが―２のときのエネルギーを考え、与えられた結び目をこのエネルギーを減らすように変形するプログラムの作成を外部委託していて、最初のモデルは昨年度中に受け取っていたが、これを改良した。
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| Remarks |
この研究で作成したプログラムと、その説明（日本語）へのリンクがある。
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