2014 Fiscal Year Research-status Report
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25610015
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
前田 吉昭 東北大学, 知の創出センター, 特任教授 (40101076)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 厳密変形量子化 / 無限次元空間の特性類 / シンプレクティック作用 / 非可換ゲージ理論 / 国際研究者交流アメリカ / 国際情報交流アメリカ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
変形量子化理論の手法を用いた非可換幾何学の構築を発展させ、その最終的目標である場の量子論への挑戦を行いたい。共形場理論・位相場理論、非可換ゲージ理論、超弦理論等、その兆候が表れていると考えられるが、これらを含む場の理論を変形量子化の立場から統一的に理解をすること、さらにはより発展させた非可換場の理論の構築を目指す。1)変形量子化問題（特に非可換積の収束性）を場の理論に用いられるような設定を行うこと、2)次数つきポアソン構造と無限次元ポアソン構造の量子化問題、3)非可換モジュライ空間とその非可換不変量、4)ディラック構造や一般幾何学(generalized geometry)の量子化問題とT双対性問題、5)ループ空間の幾何学とgegularizedチャーンクラス、6)フロベニウス代数・圏論・オペラドとコホモロジー的場の理論、7)超ケーラー多様体と量子BCOV理論を重点におく。「非可換」場の理論へのために、素粒子物理学、代数幾何学等の研究者との討論をもとに研究が推進されてきた。1)Non-formal deformation quantizationの研究は複素領域や複素シンプレクティック多様体での変形量子化の手法を、本研究に活用できるような形で推進している。特に、代数解析の手法、ジェブレクラスの関数に対する変形量子化問題を開発これにより、対称空間のUniversal Deformation Formula(UFD)の具体的な構成、ケーラーおよびシンプレクティックリー群の構造理論、超ケーラー多様体、一般幾何学等幾何学構造への応用が進んでいる。無限次元ポアソン構造の量子化問題の研究では、次数つきポアソン構造、ポアソンシグマモデルからQP多様体の構成や位相場理論の研究を推進している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本課題においての現在までの大きな進展は、無限次元空間の特性類の構成と厳密変形量子化の応用である。無限次元特性類の構成では、擬微分作用素の理論を用いてループ空間の上の特性類の構成が可能となり、佐々木多様体でのループ作用についての非自明性を示すことができた。これは超弦理論との関係についても言及出来る可能性をもっており、現在物理研究者との議論を行っている。厳密量子化問題では、シンプレクティック作用のモーメント写像の非可換化と対称空間の厳密変形量子化の構成ができている。 これをさらに拡張して、さまざまな非可換多様体の構成へと展開していくめどがたってきた。非可換ゲージ理論については、等質空間の非可換化およびその非可換ゲージ理論についての一般論についての成果が得られている。これらの研究を通して、物理や幾何学の国内外の研究者との研究ネットワークも構築された。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年までの研究成果をもとに、非可換場の理論へと向かう。超ケーラー多様体の量子化と量子BOC理論の研究を進め、超ケーラー多様体、Calabi-Yau 多様体の量子化問題を行う。Witten-Gukovにより、ミラー称性を用いた量子化が提案されている。これを変形量子化問題から見直し、再定式化を行う。超弦理論におけるAモデルおよびBモデルの観点から、リーマン面のモジュライ空間の量子化問題として、無限次元空間からのリダクションを変形量子化として行っていく過程で発散の問題が生じる。これを解消するrenormalizationの方法を開発する。Siye Li が開発しているElliptic curve についての量子BCOV理論と高い種数をもつBモデルの理論によるrenormalizationについて、変形量子化の立場から共同研究を進める。無限次元空間の特性類については、擬正則写像の空間の特性類について考察を行う。
3年間の研究成果についての成果を公表して、それらについての評価を得る。
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