2014 Fiscal Year Research-status Report
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25610017
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
相川 弘明 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20137889)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | ポテンシャル / 容量 / 最小固有値 / 熱半群 / 容量密度 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般領域のDirichlet最小固有値を容量的幅を用いて評価した．古典的には領域に入る球の最大半径（inradius）による評価が知られていたが，inradiusはわずかな除外集合でも変化してしまう．そこで，球と領域の補集合の容量が球の容量と比較可能であるような半径を考え，その下限で容量的幅を定義し，領域の固有値は容量的幅の-2乗と比較可能であることを示した．
容量的幅は一定密度を持つGreenポテンシャル（Saint-Venant問題の解）の最大値と比較可能であり，これは時刻0で定数1で0-Dirichlet境界条件を側面で満たす熱方程式の解，別の言葉で言えば領域から出発するBrown運動の生存確率と密接に関連する．これらの事実を考慮に入れて，熱半群に対するIntrinsic Ultracontractivity（IU）を容量的幅とGreen関数により導いた．IUは従来の楕円型境界Harnack原理の放物型バージョンと考えることができる．楕円型境界Harnack原理の証明に決定的な役割を果たしたBox Argumentの放物型バージョンを新しく開発し，熱核の詳しい評価を得ることができた．グラフで与えられた領域の容量的幅の評価には「ダストを許したハルナック不等式」が決定的な役割を果たした．
さらに，この研究過程で容量的幅に関連する容量密度の問題が発見され，p-容量を用いた非線形バージョンの研究を開始した．集合のp-容量に関する密度を考察し，密度をとる球の半径が大きくなったときの極限は0か1しかないことを導いた．これはより一般の距離測度空間への展開につながるものと期待される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ダストを許すHarnack不等式についての論文が出版され，その応用としてIntrinsic Ultracontractivityへの研究が完成し論文の出版が認められた．さらに派生する問題として容量密度のdichotomyを発見し，その論文の出版が認められた．距離測度空間への展開など研究の新しい方向が見つかった．また6件の招待講演を行った．
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| Strategy for Future Research Activity |
容量密度のdichotomyの距離測度空間への拡張をアメリカおよスウェーデンの研究者と共同研究する．さらに種々の領域定数に関する密度の dichotomy 現象を調べたい．
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| Causes of Carryover |
旅費・物品の使用がほぼ予定通りであったが，若干の端数が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度分に含めて使用する．
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