2015 Fiscal Year Annual Research Report
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25610017
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
相川 弘明 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20137889)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 境界Harnack原理 / 調和測度 / Brown運動 / 容量 / ポテンシャル / 0-1法則 / 密度 / グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ダストのあるHarnack原理の応用として，グラフの滑らかさが対数的連続率の1より大きいベキをもつときは大域的境界Harnack原理が成立することを示していたが，本年度はHelmholtz方程式を利用して境界を与えるグラフの滑らかさが対数的連続率の1より小さいベキをもち，かつ大域的境界Harnack原理が不成立であるのもを構成した．幾何学的には「非常に急峻で急速に広がる渓谷」を作り，Brown運動が上空に逃げていく確率より，渓谷に沿って出ていく確率の方が大きいものを構成することが鍵であった．そのためにHelmholtz方程式に関する調和測度の非常に精密な評価を用いた．これらの研究により，大域的境界Harnack原理が成立するための境界のシャープな滑らかさが明らかになった．
上記の研究の背景には容量と容量ポテンシャルの詳しい性質がある．その応用として様々な容量大域平均の0-1法則を導いた．解析学では弱いけれども一様な評価が成り立つと，その結果として強い評価が出てくることが多い．この原則が容量密度にも対して成立することを発見した．p-容量とp-ポテンシャルに対する結果は前年度に得ていたが，本年度はリース容量に対する容量大域平均の0-1法則を導いた．ニュートン容量と異なり，リース容量は非局所作用素に対応するため最大値原理が不成立であるが，調和測度に対するBogdanの方法を援用することにより，この問題点を克服することができた．
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