2016 Fiscal Year Annual Research Report
Quasi-stationary distribution for Markov processes with tightness property
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25610018
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
竹田 雅好 東北大学, 理学研究科, 教授 (30179650)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 準定常分布 / ヤグロム極限 / 対称マルコフ過程 / 半群の超縮小性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
対称マルコフ過程に対して、既約性、強フェラー性、緊密性なる三つの性質をもつクラス(クラス(T))を導入した。そのクラスのマルコフ過程について、準定常分布の存在と一意性、ヤグロム極限の存在について研究してきた。準定常分布の存在に関しては、マルコフ過程の生成作用素の基底を用いて実際に構成することを試みた。そのために、クラス（T)に属するマルコフ過程の生成作用素に基底が存在することを示した。ドンスカー・ヴァラーダンのI-関数とディリクレ形式の同定を一般化し、ディリクレ形式の変分公式を導いた。実際は、基底が存在より強くマルコフ過程の生成する半群はコンパクト作用素となることが示せた。このことは予想外の結果で、それ自身興味深い。以上の結果から、クラス（T)に属する対称マルコフ過程に対し基底が対称化測度に関して可積分であれば、基底を用いた準定常分布の構成の可能となる。一次元拡散過程の場合、境界にフェラーの意味での自然境界を持たないことが、クラス（T)に属することの必要十分条件である。
基底の可積分性と準定常分布の一意性に関しては、マルコフ半群が内在的超縮小性を持てばよい。一次元拡散過程に対しては、半群の内在的超縮小をスピード測度とスケール関数その２つの言葉での十分条件を与えた富崎松代氏の結果がある。富崎氏の結果と我々の結果をあわせることで指導学生であった三浦祐介君は、一次元拡散過程に対して準定常分布の存在と一意性の十分条件を示し、ロジスチック・フェラー拡散過程と呼ばれる具体的な一次元拡散過程に応用した。内在的超縮小性は関数不等式を用いた関数解析的な方法で示され、多次元のマルコフモデルにも応用可能で、上で述べた方法は一般性がある。
クラス（T)に属するマルコフ過程の半群の固有関数の性質は、準定常分布の存在を示すうえで重要で、本研究ですべて固有関数は有界連続となることが示せた。
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