2015 Fiscal Year Annual Research Report
放物型偏微分方程式における動的特異点の除去可能性と漸近形
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25610026
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
柳田 英二 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (80174548)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
菅 徹 東京工業大学, 理工学研究科, 助教 (60647270)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 解析学 / 特異点 / 除去可能性 / 非線形 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度は、べき乗型非線形項を持つ半線形放物型方程式に対して動的特異点を持つ解の挙動の解析を行った．まず，非線形性の増大度が適当な意味で劣臨界であるとき，動的特異点における解の漸近的振る舞いが，特異点集合上に台を持つある測度によって決まることを示した．また，有界領域において反射壁境界条件を課したとき，特異点が内部にあるいは境界に留まる場合についてほぼ最適な存在条件を得た．この結果は，特異点が複数含む場合も成立することを明らかにした．
研究期間を通しては、いくつかのタイプの放物型方程式に対して特異解の存在とその性質について研究し，以下の成果をあげた．
まず，線形熱方程式については，動的特異点が除去可能であるための必要十分条件を求め，これをより高次の特異集合を持つ場合へと拡張すると共に，除去可能でない特異性を持つ解の存在を示した．また，空間的特異性の強さが時刻によって変化するものを考察し，特異点近傍での解の形状が漸近的に非球対称となり，特異性の強さが変化する場合があることを示した．
吸収型の非線形項を持つ場合については，全ての動的特異点が除去可能であるための条件について詳細に調べ，そのほぼ必要十分と考えられる条件を明らかにした．また，除去可能でないときには，特異定常解と同じ強さの特異性を持つ特異解と，ラプラス方程式の基本解と同程度の強さの特異性を持つ特異解の，２種類のタイプしかないことを示した．
発熱型の非線形項を持つ場合については，動的特異点を持つ解の構成，および特異点での漸近形の解析を行った．動的特異点を持つようないかなる解も，ほとんど至る所の時刻をとめるごとに，空間変数に関してラプラス方程式の基本解と同程度あるいはそれ以下の特異性しか持ちえないことを示した．
この他，特異な初期値に対する解の非一意性，特異定常解への収束レート,ヘテロクニック解の存在についての結果を得た．
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