2013 Fiscal Year Research-status Report
四色定理の理論的別証を導く切断多面体の正規性予想の肯定的解決への挑戦
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25610032
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Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
日比 孝之 大阪大学, 情報科学研究科, 教授 (80181113)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 切断多面体 / 切断イデアル / トーリックイデアル / グレブナー基底 / イニシャルイデアル / ２水準一部実施計画 |
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| Research Abstract |
有限グラフに付随する切断多面体の正規性の探究を、グレブナー基底の代数的理論の観点、及び、凸多面体の組合せ論の観点から、多角的に展開し、切断多面体の正規性予想と呼ばれる懸案の予想「有限グラフに付随する切断多面体が正規であるための必要十分条件は、その有限グラフが５次の完全グラフをマイナーとして持たないことである。」を肯定的に解決することが、本挑戦的萌芽研究の目的である。その背景には、切断多面体の正規性予想の肯定的な解決から、四色定理が従う（David E. Speyer）ことが潜んでいる。
平成２５年度は、切断多面体のトーリックイデアル（切断イデアルと呼ぶ）のグレブナー基底の構造定理の創設をマイルストーンとし、研究を推進した。特に、squarefree な initial ideal を持つ切断イデアルの分類問題に挑戦する土台を構築することを念頭に置き、頂点の個数が小さな状況では、有限グラフが５次の完全グラフをマイナーとして持たないことと、切断イデアルが squarefree な initial ideal を持つことが同値であることを、膨大な計算機実験を遂行し、確認するに至った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本挑戦的萌芽研究のエフォートは 10% であるから、十分な研究時間を費やすことは困難である。しかしながら、膨大な計算機実験から、squarefree な initial ideal を持つ切断イデアルの分類問題に挑戦する糸口に到達することに成功している。従って、初年度の研究成果としては、十分であると判断している。
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| Strategy for Future Research Activity |
切断多面体の正規性予想の肯定的な解決への挑戦に向けての着想を育む。
第１に、平成２５年度の研究成果を踏まえ、squarefree な initial ideal を持つ切断イデアルの分類問題の解決に向けての研究を展開する。
第２に、切断多面体の膨らましに含まれる格子点の状況を厳密に把握し、正規性の定義（すなわち、整分割性）に従い、凸多面体論の範疇において、切断多面体の正規性予想の肯定的な解決が可能か否かを検討する。その際、有限グラフの頂点の個数が小さい状況において、計算機を駆使し、切断多面体の Ehrhart 多項式の計算を実施する。
第３に、切断イデアルはレギュラーな２水準一部実施計画のトーリックイデアルを含むことから、切断多面体の正規性予想を、レギュラーな２水準一部実施計画のトーリックイデアルに一般化することを検討する。その準備として、レギュラーな２水準一部実施計画のトーリック環が正規である自然な類を探究する。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
ドイツの共同研究者のスケジュールの変更により、外国出張を翌年に延期した。
外国旅費
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