2015 Fiscal Year Annual Research Report
四色定理の理論的別証を導く切断多面体の正規性予想の肯定的解決への挑戦
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25610032
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
日比 孝之 大阪大学, 情報科学研究科, 教授 (80181113)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 切断多面体 / 切断イデアル / トーリックイデアル / グレブナー基底 / イニシャルイデアル / ２水準一部実験計画 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限グラフに付随する切断多面体の正規性の探究を、グレブナー基底の代数的理論の観点、及び、 凸多面体の組合せ論の観点から、多角的に展開し、切断多面体の正規性予想と呼ばれる懸案の予想「有限グラフに付随する切断多面体が正規であるための必要十分条件は、その有限グラフが 5 次の完全グラフ K_5 をマイナーとして持たないことである。」の肯定的な、あるいは、否定的な解決に挑戦することが、本挑戦的萌芽研究の目的である。その背景には、切断多面体の正規性予想の肯定的な解決から四色定理が従う（David E. Speyer）ことが潜んでいる。
平成２５、２６年度の研究を踏襲し、平成２７年度も研究を展開したが、切断多面体の正規性予想の肯定的な、あるいは、否定的な解決に至ることはなかった。しかしながら、切断多面体の正規性予想に挑戦する研究を契機とし、平成２７年度は、有限グラフに関連するグレブナー基底に関する顕著な結果が得られた。具体的には、有限半順序集合の重複鎖に付随する次数 d の単項式が生成するトーリック環のトーリックイデアルを議論し、そのトーリックイデアルが二次生成であること、そのトーリックイデアルが二次のグレブナー基底を持つこと、及び、その半順序集合の比較可能グラフが弦グラフであること、の３個の条件が同値であることを示すことに成功した。
切断多面体のトーリックイデアルは、２水準の一部実施計画との関連が既知である。本挑戦的萌芽研究でも、トーリックイデアルの実験計画への応用を議論し、平成２７年度は、３水準の Box--Behnken 計画に関する頻度データに対し、Ｄ型のルート系に付随する配置の centrally symmetric configuration が、自然な統計モデルに対応することを示した。その結果は、多水準の計画に付随するトーリックイデアルに関する、先駆的なものである。
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