2016 Fiscal Year Annual Research Report
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25707002
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
谷口 隆 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60422391)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 代数群の表現 / ゼータ関数 / 密度定理 / 数の幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数群の有限次元表現（Ｇ，Ｖ）から、整数論的に興味深い密度定理を導くことができる。特に（Ｇ，Ｖ）が概均質ベクトル空間の場合は、佐藤-新谷のゼータ関数を用いることで、数の幾何よりも精密な成果が得られることがある。今年度はこのゼータ関数を自然勝非常に効果的に用いる方法を見出した。具体的な成果として、３次体の判別式の分布において、誤差項の指数を 2/3+epsilon まで下げることができた。分解に条件をつけたときの p-依存性も効果的な評価が得られたために、今後多数の応用が見込まれる。この方法は汎用性があり、例えば２次体のイデアル類群の３捻点の平均個数についても、既存の成果を上回る成果が得られる。また、他の概均質ベクトル空間（Ｇ，Ｖ）についても、必要な指数和が計算できれば、この方法を適用して、精密な成果を得ることができる。この意味で問題をほぼ完全に、指数和の評価に帰着することができた。これは Manjul Bhargava 氏、Frank Thorne 氏 との共同研究である。
また、代数群の表現を研究する中で半ば偶発的に、代数体のイデアル類群の２捻点の個数の非自明な評価を与える方法を発見した。証明は数の幾何を用いる。これにより、楕円曲線の整数点や2-Selmer群の位数の評価を改良することができた。また、超楕円曲線の2-Selmer群の位数の評価も改良できた。これは Manjul Bhargava 氏、Arul Shankar 氏、Frank Thorne 氏、Jacob Tsimerman 氏、Yongqian Zhao 氏との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
意欲的な研究課題で、そのすべてを達成できたわけではないが、概均質ベクトル空間のゼータ関数については、それに内在する力を十分に引き出すことができたと思われる。また、代数体のイデアル類群の２捻点の個数の非自明な評価については、全く予期しなかった大きな成果だと考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
２次体のイデアル類群の３捻点の平均個数について、精密な密度定理を証明する。また、連携研究者や国内外の研究協力者を招聘し、本研究課題で得られた成果について総括を行い、また新たな研究の発展に向け、今の課題について討論を行う。
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| Causes of Carryover |
研究集会を開催し、本研究課題について総括する予定であったが、主要な連携研究者・国内外の研究協力者の予定を勘案すると、平成２９年度の開催することがより適当であると判明したため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究集会の発表者招聘に用いる。
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