2013 Fiscal Year Annual Research Report
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25707005
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Grant-in-Aid for Young Scientists (A)
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
三浦 英之 東京工業大学, 情報理工学(系)研究科, 准教授 (20431497)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Helmholtz分解 / 楕円型境界値問題 |
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| Research Abstract |
東北大学の前川泰則氏と，ある種の楕円型境界値問題及びその応用を研究した．我々はこれまでの研究で全空間，または半空間で定義されたある種の発散形の楕円型作用素を考察し，係数に対する正則性について弱い仮定の下で対応するDirichlet-Neumann写像またはPoisson作用素による分解公式を導出し，半空間におけるDirichletおよびNeumann境界値問題に対する(Poisson作用素が生成する半群を用いた)解公式を得た．また，これを用いて境界の接方向に対し2乗可積分となるような非等方型の関数空間において可解性の考察を行った．今年度はその応用として，非圧縮流体の解析において基本的な概念であるHelmholtz分解を研究し，ある種の非コンパクト境界を持つ領域においても，上述の非等方型の関数空間においては，その分解が可能であることを示した．このようなタイプの領域でのHelmholtz分解は通常のLebesgue空間では必ずしも成り立たないことが知られており解析は困難であった．今回導入した手法および関数空間は，非コンパクト境界を持つ領域における(Navier-)Stokes方程式の解の評価にも応用できると思われる．証明においてはHelmholtz分解と同値な，あるNeumann問題を考察し，上述の解公式を用いて評価を行う．従来の研究において用いられている局所化・摂動法とは異なる手法であり，また，一様Lipschitz境界の場合も扱うことが出来る点で興味深いと思われる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
楕円型方程式の研究の応用として非圧縮流体の研究に取り掛かること出来，また今後の発展も期待できるから．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでに得られた楕円型作用素の分解公式やHelmholtz分解などの成果を踏まえて，非コンパクト領域における非圧縮粘性流体の研究を進める．そのための解析に基本的なStokes問題などの線形偏微分方程式の評価式の導出を目標とする．またその応用として，非線形問題である非圧縮Navier-Stokes方程式の（時間局所）可解性および漸近挙動の研究も行う．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
平成25年度は研究代表者の異動もあり，出張計画を立てることが困難であったため．
今年度は大学の学期期間外に比較的長期の海外出張を予定しているので，出張旅費として使用する予定である．また，海外からの研究者の招聘も計画している．
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