2014 Fiscal Year Research-status Report
組合せ的構造を有する最適化問題の効率的アルゴリズム設計
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25730001
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
垣村 尚徳 東京大学, 総合文化研究科, 講師 (30508180)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | パッキング / 被覆 / 線形相補性問題 / 整数性 / 疎性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，昨年度に引き続き(1)イマージョン詰込み問題に対するErdos-Posa性の解析(2)線形相補性問題(LCP)の組合せ構造の解析を行った．
1.詰込み問題はグラフ理論における基本的な問題として古くから研究されており，古典的な結果としてサイクル詰込み問題に対するErdos-Posa性がある．これは，詰め込めるサイクルの最大数とフィードバック点集合の最小サイズを関連づける組合せ的な性質である．昨年度は，サイクルを大幅に一般化した概念であるK5イマージョンというオブジェクトを詰め込む問題に対してErdos-Posa性の解析を行った．本年度は，それを一般化したKtイマージョンの詰込みについて解析を行ない，いくつかの有用な知見を得た．
2. LCPとは線形計画問題や凸二次計画問題を含む数理計画問題である．昨年度までの研究で，LCPの整数解の性質を調べるために，LCPの変種である方向付きLCPという問題を提案し，それをもとに完全双対整数性を導入した．これは線形計画問題でよく知られている概念である完全双対整数性の類推である．方向付きLCPは整数性の解析以外にもゲーム理論やLCPの感度解析への応用が期待される．方向付きLCPについて，係数行列が歪対称行列，P行列，Z行列，K行列などの様々な場合の計算複雑度を解析した．また，LCPの持つ疎性をパラメータとして，そのパラメータ化計算量を解析した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の主な目的は，詰込み・被覆タイプの組合せ最適化問題の解析と線形相補性問題の組合せ構造の解析であった．前者については，これまでの成果を改訂したものが論文誌に採択され，また今後の進展に向けて新しい知見が得られるなど，おおむね順調に推移している．後者のLCPについても，これまでの成果が改訂後に論文誌に採択された．さらに，当初の計画にあった，LCPの疎性などの組合せ的性質と効率的アルゴリズムの関連が明らかになってきており，比較的順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き当初の計画に沿って研究を推進する．そして得られた成果を速やかに論文としてまとめるとともに，積極的に国内外の会議で発表する．
また，代表的な組合せ最適化問題のひとつであるマトロイド交叉について，海外の研究協力者との議論を行なうことで有用な性質が明らかになってきた．マトロイド交叉は，二部グラフのマッチングの一般化であり，多項式時間で解くことができるなど良い組合せ構造を有する．引き続き協力者と密な議論を行ない，その組合せ構造を利用して効率的なアルゴリズムを設計する．
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| Causes of Carryover |
今年度は，競争率の高い査読付き国際会議に投稿したため，採択されず学会発表を行なうことができなかった．そのため旅費の支出が計画よりも少なくなった．また，計画段階では分らなかった問題に対して興味深い知見が発見されたことにより，その精査に時間を要した．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
これまでに得られた成果を積極的に国内外で発表する．そのために旅費・そのほか(学会参加費)が計上される．実際，すでに日洪「離散数学とその応用」シンポジウムや国際数理計画シンポジウムでの発表を予定している．また，研究を円滑に遂行するためにPC周辺機器・書籍等の購入を計画している．
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