グラフ同型性判定問題に対する幅パラメータ固定アルゴリズムの研究

2014 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25730003
• Research Institution: Japan Advanced Institute of Science and Technology
• Principal Investigator: 大舘 陽太 北陸先端科学技術大学院大学, 情報科学研究科, 助教 (80610196)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2016-03-31
• Keywords: グラフ同型性判定問題 / 固定パラメータ容易性 / 木幅

Outline of Annual Research Achievements

引き続き，木幅に関連するグラフパラメータとグラフ同型性判定問題の関係についての研究を行った．主な成果として，Weisfeiler-Lehman アルゴリズムと呼ばれる，グラフ同型性判定問題に対する一般的なアルゴリズムを改良し，ある種の幅パラメータが制限された場合に固定パラメータ容易アルゴリズムとなることを示した．Weisfeiler-Lehman アルゴリズム自体が木幅定数グラフに対して多項式時間で動作することは知られていたが，その証明をさらに洗練させたことによりこの結果を得ることができた．我々の結果と独立に，Lokshtanov, Pilipczuk, Pilipczuk, Saurabh によって，同型性不変の木分解を求める固定パラメータ容易アルゴリズムが発表された．彼らの結果によって，木幅定数グラフに対するグラフ同型性判定問題は固定パラメータ容易であることが分かった．我々の制限付き Weisfeiler-Lehman アルゴリズムは，Lokshtanov らの結果の一部に対して，別の見方を与えている事にもなる．
また，部分グラフ同型性判定問題も研究し，理想グラフと呼ばれるグラフのいくつかのクラスに対して，多項式時間アルゴリズムや計算理論的困難性を示した．この研究も継続して行っており，より洗練させて出版予定である．部分グラフ同型性判定問題は本研究の主題であるグラフ同型性判定問題とも関連が深く，同時に研究することで問題の本質をより明確に認識できることが期待される．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

計画したとおり，木幅の制限されたグラフの一部のクラスに対する固定パラメータ容易アルゴリズムの提案を行うことができた．グラフ同型性判定の研究のなかではよく知られていた Weisfeiler-Lehman アルゴリズムを改良できたことも，それ自体で興味深い結果である．我々とは独立に発表された Lokshtanov らの結果により，木幅固定の場合のグラフ同型性判定問題は固定パラメータ容易であることが判明した．我々の結果も独立ではあったものの，その解明に大きな役割を担ったと考えられる．
部分グラフ同型性判定問題については，固定パラメータ容易性の文脈では多くのことが研究されている．本研究の結果では，理想グラフの一部のグラフクラスを扱っており，既存の結果を補完するものとなっている．

Strategy for Future Research Activity

木幅定数グラフに対して固定パラメータ容易性が解決した今，次の二つの方向がある:
・木幅定数グラフを一般化する，固定マイナー禁止グラフに対する同型性判定
・パラメータ木幅を一般化する，クリーク幅定数グラフに対する同型性判定
固定マイナー禁止グラフに関しては，同型性判定問題が多項式時間で解けることは知られているが，禁止マイナーサイズでパラメータ化した場合の固定パラメータ容易性は知られておらず，大きな未解決問題である．一方，クリーク幅定数グラフに関しては，多項式時間で解けるかどうかも分かっていない．本研究では，これらの問題に対してアプローチすべく，クリーク幅と禁止グラフの関係を解析し，グラフ同型性判定問題に対する糸口の発見を目指す．

Causes of Carryover

禁止誘導マイナーグラフに関する研究結果の論文執筆などが遅れ，学会での成果発表を次年度に行うこととしたため，未使用額が生じた．

Expenditure Plan for Carryover Budget

上記論文はすでに投稿済みのため，学会での成果発表旅費に充てる．

Research Products

• [Journal Article] Secure sets and defensive alliances in graphs: A faster algorithm and improved bounds (2015)
  • Author(s): Kazuyuki Amano, Kyaw May Oo, Yota Otachi, and Ryuhei Uehara
  • Journal Title: IEICE Transactions Volume: E98-D Pages: 486-489
  • DOI: doi:10.1587/transinf.2014FCP0007
  • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] Approximating the path-distance-width for AT-free graphs and graphs in related classes (2014)
  • Author(s): Yota Otachi, Toshiki Saitoh, Katsuhisa Yamanaka, Shuji Kijima, Yoshio Okamoto, Hirotaka Ono, Yushi Uno, and Koichi Yamazaki
  • Journal Title: Discrete Applied Mathematics Volume: 168 Pages: 69-77
  • DOI: doi:10.1016/j.dam.2012.11.015
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] A 4.31-approximation for the geometric unique coverage problem on unit disks (2014)
  • Author(s): Takehiro Ito, Shin-ichi Nakano, Yoshio Okamoto, Yota Otachi, Ryuhei Uehara, Takeaki Uno, and Yushi Uno
  • Journal Title: Theoretical Computer Science Volume: 544 Pages: 14-31
  • DOI: doi:10.1016/j.tcs.2014.04.014
  • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] Efficient algorithms for network localization using cores of underlying graphs (2014)
  • Author(s): Meng Li, Yota Otachi, and Takeshi Tokuyama
  • Journal Title: Theoretical Computer Science Volume: 553 Pages: 18-26
  • DOI: doi:10.1016/j.tcs.2014.02.020
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Base-object location problems for base-monotone regions (2014)
  • Author(s): Jinhee Chun, Takashi Horiyama, Takehiro Ito, Natsuda Kaothanthong, Hirotaka Ono, Yota Otachi, Takeshi Tokuyama, Ryuhei Uehara, and Takeaki Uno
  • Journal Title: Theoretical Computer Science Volume: 555 Pages: 71-84
  • DOI: doi:10.1016/j.tcs.2013.11.030
  • Peer Reviewed
• [Presentation] Depth-first search using O(n) bits (2014)
  • Author(s): Tetsuo Asano, Taisuke Izumi, Masashi Kiyomi, Matsuo Konagaya, Hirotaka Ono, Yota Otachi, Pascal Schweitzer, Jun Tarui, and Ryuhei Uehara
  • Organizer: 25th International Symposium on Algorithms and Computation (ISAAC 2014)
  • Place of Presentation: Jeonju, Korea
  • Year and Date: 2014-12-15 – 2014-12-17
• [Presentation] Polynomial-time algorithm for sliding tokens on trees (2014)
  • Author(s): Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Eli Fox-Epstein, Duc A. Hoang, Takehiro Ito, Hirotaka Ono, Yota Otachi, Ryuhei Uehara, and Takeshi Yamada
  • Organizer: 25th International Symposium on Algorithms and Computation (ISAAC 2014)
  • Place of Presentation: Jeonju, Korea
  • Year and Date: 2014-12-15 – 2014-12-17
• [Presentation] Extending partial representations of proper and unit interval graphs (2014)
  • Author(s): Pavel Klavik, Jan Kratochvil, Yota Otachi, Ignaz Rutter, Toshiki Saitoh, Maria Saumell, and Tomas Vyskocil
  • Organizer: 14th Scandinavian Symposium and Workshops on Algorithm Theory (SWAT 2014)
  • Place of Presentation: Copenhagen, Denmark
  • Year and Date: 2014-07-02 – 2014-07-04
• [Presentation] Reduction techniques for graph isomorphism in the context of width parameters (2014)
  • Author(s): Yota Otachi and Pascal Schweitzer
  • Organizer: 14th Scandinavian Symposium and Workshops on Algorithm Theory (SWAT 2014)
  • Place of Presentation: Copenhagen, Denmark
  • Year and Date: 2014-07-02 – 2014-07-04
• [Presentation] Polynomial-time algorithms for subgraph isomorphism in small graph classes of perfect graphs (2014)
  • Author(s): Matsuo Konagaya, Yota Otachi, and Ryuhei Uehara
  • Organizer: 11th Annual Conference on Theory and Applications of Models of Computation (TAMC 2014)
  • Place of Presentation: Chennai, India
  • Year and Date: 2014-04-11 – 2014-04-13
• [Presentation] Intersection dimension of bipartite graphs (2014)
  • Author(s): Steven Chaplick, Pavol Hell, Yota Otachi, Toshiki Saitoh, and Ryuhei Uehara
  • Organizer: 11th Annual Conference on Theory and Applications of Models of Computation (TAMC 2014)
  • Place of Presentation: Chennai, India
  • Year and Date: 2014-04-11 – 2014-04-13