2014 Fiscal Year Research-status Report
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25800001
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
岩成 勇 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (70532547)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 導来代数幾何学 / 淡中双対 / 混合モチーフ / オペラッド |
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| Outline of Annual Research Achievements |
26年度本研究課題では、25年度に引き続き∞圏のガロア・淡中双対の研究を行った。目標は、高次圏つまり∞圏のガロア・淡中双対を研究することにより、モチーフに対するガロア理論への応用やホモトピー論への応用、非アーベルなホッジ理論への応用を探求するものである. 25年度に発見した新しい技術を用いて、ある単純な公理をみたす安定高次圏（fine tannakian infinty-category)の概念を導入し、淡中型特徴付け定理を証明した。さらに、様々な例がこの特徴付を満たす例になっており応用できることを示した。例えば木村有限なモチーフで生成された混合モチーフの安定∞圏や有理ホモトピー論に関係する自然な安定∞圏がその例である。Grothendieckのガロア圏は古典的なガロア理論と位相空間の基本群の理論をともに含む理論であるが、大雑把にいって上の安定高次圏の淡中型定理はそれらを「高次元化」している。これらの結果は単著の結果としてプレプリントにまとめてネット上公開した。またいくつかの研究会、セミナー等で口頭発表した。さらに、次の２点を26年度中に追求し、27年度への研究にもつながっている。１つは、∞圏に対する淡中双対のE_n版である。E_n版とは、little discs operad上の導来代数幾何において定式化されるもので、変形量子化や量子群などと関係ある。もう一つは、上記に得られた双対定理からモチーフ的ガロア群を構成できるのであるが、その周期への応用である。これらは27年度の研究を踏まえて報告したほうが良いと思われるので26年度の報告はここまでとする。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
応用に適した形で安定∞圏に対する淡中型特徴づけ定理が証明できたことによる。またその拡張も得られそうであるから。
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| Strategy for Future Research Activity |
２６年度の研究状況に記述したように、いくつか今の地点からの推進方向はあり多角的に研究をすすめる予定である。ひとつは導来代数幾何によってToenらがすすめている様々な変形量子化を背景にオペラッド版の淡中双対を研究することである。新しい量子不変量を構成することを目標にできる. もうひとつは昨年度までに構成し構造を研究した木村有限なモチーフ（特にアーベルスキーム）で生成された混合モチーフのモチーフ的ガロア群を周期の研究である。
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