2015 Fiscal Year Research-status Report
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25800001
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
岩成 勇 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (70532547)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 安定∞圏 / 周期写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２７年度の研究について報告する。現在、対称モノイダル安定∞圏に関して淡中双対性を研究している。平成27年度は、対称モノイダル構造をのぞいた、安定∞圏の研究へと向かった。いくつかの応用を念頭に、安定∞圏の変形とその不変量の変形の関係を研究した。即ち、安定∞圏の変形に対してホッジ構造の類似を考え周期写像を構成することを研究した。これは、標語的に言えば、非可換代数幾何学におけるGriffiths周期写像と言える。実際は、安定∞圏の変形そのものより∞圏の生成系ともいえるdifferential graded 代数にほうが（現在あるテクノロジーでは）変形を記述しやすいためその代数の変形についての周期写像を構成した。その構成には、ホッホシルト・コチェイン複体とホッホシルト・チェイン複体がなすホモトピー的なカルキュラス構造が重要であることを見つけ、それをdifferential graded Lie代数による導来的な変形理論を混ぜ合わせることにより構成をすることが可能となった。その際オペラッドが有効に活用された。さらに、27年度中に完全にKaledinにより証明されたHodge-to-deRhamスペクトル系列の退化を応用することによりスムースで固有な代数に関しては極めて満足い性質を持つ周期写像の構成が行われた。この周期写像の構成によって、たとえばTian-Todolovの定理の非可換版への拡張が可能になった。その変形の周期写像のスムースかつ固有の時でない場合も、表現論から、あるいはミラー対称性に現れる例としも重要なものがあり、その様な場合の深い理解はこれからの課題と言える。また、braidedモノイダルの場合等の変形も視野に入れて考えているがそれはfactorization代数を考える必要があり豊かな数学へとつながる拡張と期待している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一定以上の理解が進んだとおもわれる。
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| Strategy for Future Research Activity |
幾何学と圏をつなぐという意味では、圏に様々なレベルの構造をいれて横断的に考えると良いように思われる。もっとも幾何に近いのが対称モノイダル構造付きの場合で、遠いのが何も仮定しない場合だろう。またその中間的な構造を考えることも重要である。今後後者の立場と全者の立場の相互作用と応用をし座に入れつつ研究をおこなう。
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