2014 Fiscal Year Research-status Report
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25800002
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
深澤 知 山形大学, 理学部, 准教授 (20569496)
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2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | ガロア点 / ガロワ点 / 正標数 / 射影代数多様体 / 射影 / ガロア群 / ガウス写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ガロア点を用いた射影多様体の分類、ガロア点と周辺分野との関係の創出、という２つの目的のもと研究を行なった。
標数をp≧0とし、次数d の既約平面曲線Ｃを考える。射影空間内の点ＰがＣに対するガロア点であるとは、点Ｐからの射影が呈する関数体の拡大がガロア拡大となるときに言う。ガロア点が曲線上にあるときは「内ガロア点」、ないときは「外ガロア点」という。ガロア点が無限個ある状況は著者と長谷川武博氏により既に決定されている。これを(FH)と呼ぶことにする。(FH)を除く平面曲線上の内ガロア点の個数について、generic order of contact M(C)(一般点での接線との重複度)と幾何種数g、次数dを用いた上限 (M(C)+1)(2g-2)+3d を与えた。さらに、上限に到達するときは「エルミート曲線またはバリコ・エフェッツ曲線(の射影同値類)」に限定されることを示した。内ガロア点を複数もつ例は現在６種類知られているがそのうち個数の多い３種((FH)、エルミート、バリコ・エフェッツ)について、ガロア点による特徴づけが与えられたことになる。そしてこれらの例の成功理由に対する理論的な説明を与えている。
有理点とガロア点の関係を考察した。有限体上定義された代数曲線についてガロア点を有限体の代数閉包上で考える。体を適当に有限次拡大すればガロア点はその拡大体(である有限体)の有理点となる。従って「ガロア点と有理点の集合が一致するのはいつか？」ということが問題となる。これを満たす例については、エルミート曲線、クライン曲線、バリコ・エフェッツ曲線の３つが知られている。「これらに限定されるか？」という問題を提起し、幾何種数が１以下で曲線上に有理点の存在を認めるとき、バリコ・エフェッツ曲線として特徴づけられることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
主要課題のひとつ「ガロア点の分布による平面曲線の分類」については、実際に内ガロア点の個数の上限を与えることができた。研究計画の段階では次数で記述することを主に考えており、実際には幾何種数・generic orderも使うという形で上限を決められたので、予想以上に的確な表現ができたと思われる。種数や次数などに制限が必要なく上限を決められた点は、「予想以上の進展」といえる。
外ガロア点に関する上限については、かなり多くの外ガロア点を仮定しても曲線を決定するのが難しく、想像以上の困難があることがわかってきた。「有理点との関係」で得られた定理の証明においては「ガロア点の数」というより「配置」が有効に働いており、外ガロア点については「配置」に注目した分類理論を考える、という新しい方向性が実現された。想定していたものとはだいぶ形が変わっているが進展と言えるので、「やや遅れている」「順調な進展」のいずれかの判定が難しい。
研究課題のテーマである「新展開」に関する内容として、「有理点との関係」について上記のように結果が得られた。「順調な進展」と考えられる。
以上のような成果を総合的に判断し、上記のように自己評価した。
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| Strategy for Future Research Activity |
主要課題「ガロア点の分布による平面曲線の分類」については、外ガロア点について、「配置」に注目した分類理論を進める。内ガロア点については次の上限を探る。
進展のあったガロア点と有理点の関係の研究をさらに進める。符号との関係も意識的した上で行いたい。１年目に進展のあった双対曲線、p階数との関係についても、分類的観点と応用的観点からさらに進めていく。
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Research Products
(6 results)
