2015 Fiscal Year Annual Research Report
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25800002
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
深澤 知 山形大学, 理学部, 准教授 (20569496)
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2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | ガロア点 / ガロワ点 / 正標数 / 射影代数多様体 / 射影 / ガロア群 / ガウス写像 / 準ガロア点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ガロア点を用いた射影多様体の分類、ガロア点と周辺分野との関係の創出、という２つの目的のもと研究を行なった。既約平面曲線Ｃを考える。射影空間内の点ＰがＣに対するガロア点であるとは、点Ｐからの射影が呈する関数体の拡大がガロア拡大となるときに言う。ガロア点が曲線上にあるとき「内ガロア点」という。
標数零、次数４の有理的平面曲線について考察した。２個以上の内ガロア点をもつための必要十分条件として、曲線のパラメータを決定した。さらに計算機(Mathematica)を用いることにより、内ガロア点を３点もつ有理曲線の存在を示した。次数４の平面曲線の個数については、三浦敬氏によりその上限が与えられていた。特に曲線が有理的であるときには、上限は「３」であることがわかっていた。今回の著者の結果により、この三浦氏の上限がシャープであることが示された。
三浦敬氏・高橋剛氏と共同研究を行い、ガロア点の一般化として「準ガロア点」を導入し、その一般理論を整理した。準ガロア点とは、点射影と可換になる自己同型群G[P]の位数が２以上であるときに、その射影の中心点のことと定義した。標数零の非特異平面曲線を中心に、準ガロア点の定義方程式、準ガロア点の個数の上限、準ガロア点に付随する群が生成する群の構造、等を論じた。例えば、４次非特異曲線について準ガロア点の個数の上限は「２１」であり、これに到達するものはクライン曲線に限定されることを示した。現在、プレプリントサーバarXivにそれらの結果を掲載(arXiv:1505.00148)しており、得られた定理は１３個に及ぶ。
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