2013 Fiscal Year Research-status Report
頂点作用素代数のモジュラー不変性とその表現論への応用に関する研究
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25800003
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
有家 雄介 筑波大学, 数理物質系, 助教 (50583770)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 頂点作用素代数 / 共形場理論 / リーマン面 / 共形ブロック |
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| Research Abstract |
頂点作用素代数の自己同型による捩じれがある場合に付随する共形ブロックの空間を記述することが本研究の目的である。とくに、近年数学と物理の両面から注目されている表現の圏が半単純でない場合をスーパー代数の場合も込めて取扱い、半単純な場合に知られている諸性質を一般化することを目的とする。
本年度はスーパー代数でないもので種数が1の場合、つまり楕円曲線に付随する共形ブロックについて考察した。捩じれがない場合にはZhu代数と呼ばれる結合代数上の対称な線形関数が重要な役割を果たす。この事実を参考に、捩じれがある場合にあらわれる線形関数について研究した。自己同型による結合代数上の次数に着目することにより、期待される性質をもつ線形関数を定式化することができた。さらに、最終目的に必要と思われる諸性質を証明した。また、共形ブロックの空間を幾何学的に定式化するべく考察を進めた。結果として、定式化に用いられる関数の性質をリーマン面のガロア理論の観点から整理し、その諸性質の証明を簡略化することに成功した。
本年度は上記の研究に加えて、スーパー代数も含む形で種数が0の射影直線上の共形ブロックについて考察した。これは頂点作用素代数の言葉では加群の交絡作用素に対応する。結果として頂点作用素（超）代数のいくつかのテンソル積の表現の交絡作用素ともともとの頂点作用素（超）代数の表現の交絡作用素の関係を確立した。この成果を含む内容を仙台および台湾の国際研究集会で講演した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の予定では本年度は種数１の場合のみ考察する予定であったが、次年度以降に行う予定であった種数０の場合に関する研究も同時に行ったため、当初目標としていたモジュラー不変性の証明まで到達しなかった。しかし、全体を通してみれば順調である。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究集会などに出席し、国内外の研究者と議論することにより前年度にやり残したモジュラー不変性の証明を完成させる方向で研究を進める。また、頂点作用素超代数に付随する共形場理論、特に交絡作用素の意味づけに関する研究を行う。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
筑波大学では支払ベースで計上している。年度末の旅費が未払いとなったため次年度使用額が生じた。
平成２６年度４月に未払いの旅費は支払われるため特に問題はない。
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