2016 Fiscal Year Annual Research Report
Modular invariance of vertex operator algebras and its application to representation theory
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25800003
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
有家 雄介 筑波大学, 数理物質系, 助教 (50583770)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 頂点作用素代数 / モジュラー微分方程式 / モジュラー不変性 / ヴィラソロ代数 / 大域次元 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２８年度は，頂点作用素代数の既約表現の指標がある種の微分方程式（モジュラー微分方程式とよばれる）の解空間と一致するという性質を用いて，最も基本的な頂点作用素代数であるヴィラソロ頂点作用素代数を特徴付けるという研究を行った．本年度に得られた結果としては，微分方程式の階数が２，３，４の場合に頂点作用素代数自身の指標の初めの幾つかを仮定することによって，特定の中心電荷を持つヴィラソロ頂点作用素代数の特徴づけを得た．
また，頂点作用素代数の指標が３階のモジュラー微分方程式の解となり，ウエイト１の空間が自明となるような頂点作用素代数の中心電荷および指標の候補が，それぞれ高次カシミール元および共形デザインという観点から得られていたが，その内の二つの中心電荷に対しては対応する頂点作用素代数が知られていなかった．今年度はこれらの中心電荷に対応するモジュラー微分方程式の解をヴィラソロ頂点作用素代数の既約表現の指標を用いて具体的に表示して，解のモジュラー変換を記述した．この結果を用いて，もし良い頂点作用素代数が存在すると仮定した場合に，その表現のなすテンソル圏の不変量（大域次元とよばれるものである）を２つの異なる観点で計算した結果，これらが食い違うこと，すなわち，考えている中心電荷をもつような良い頂点作用素代数が存在しないことを証明した．この結果により，指標が３階のモジュラー微分方程式を満足し，ウエイト１の空間が自明となるような良い頂点作用素代数の中心電荷の分類を完成させた．
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