2013 Fiscal Year Research-status Report
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25800007
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
鈴木 正俊 東京工業大学, 理工学研究科, 准教授 (30534052)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 数論 / ゼータ関数 / 零点 / 正準系 / ハミルトニアン |
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| Research Abstract |
現代数論において、ゼータ関数と総称される特殊函数たちの解析接続・極・零点などの解析的性質の研究は、主要なテーマのひとつである。本研究課題の目的は、そういったゼータ関数 Z(s) たちの解析的性質を、Z(s) = X(s) + X(1-s) や Z(s) = Y (s) + Y (1-s) + B(s) といった「加法的分解」を通して調べることであった。また、ゼータ関数 Z(s) の良い解析的性質が引き出せるような補助函数 X(s), Y (s), B(s) などを特定し、それらを具体的に構成する手段を得ることも、本研究課題の目的であった。
当該年度は、研究実施計画にしたがって、ゼータ関数 Z(s) の適当な積分表示を指数多項式により近似し、そうして得られる指数多項式の族に関する加法的分解を調べることを行った。ゼータ関数が、適当な条件を満たす整函数 X(s) により Z(s) = X(s) + X(1-s) と加法的に分解されるとき、正準系と呼ばれる良い微分方程式系を関連付けることができる。しかしながら、その正準系を決定するハミルトニアンと呼ばれる量の具体的構成は、一般には非常に困難である。これを可能にするような手法の開発が、本研究課題の目的のひとつであった。そこで、当該年度は、ゼータ関数自身ではなく、その積分表示の近似から得られる指数多項式に関して、その加法的分解と関連付けられる正準系について詳しく調べることを行った。その成果として、そういった正準系のハミルトニアンを具体的に構成するための明確な手法をひとつ得ることができた。しかも、その応用として、自己相反多項式と呼ばれる多項式の根の分布という古典的な問題に対して、新たな知見を得ることができた。これらの成果はまだ出版されてはいないが、国内および海外の研究集会やセミナー等で発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画に記載した当該年度の予定は、ゼータ関数の積分表示の近似から得られる指数多項式に関して、その加法的分解に関する何らかの発見や進展を得て、それを次年度以降の研究の土台のひとつとすることだった。この目標は、研究実績の概要で述べた、指数多項式の加法的分解と関連付けられる正準系のハミルトニアンに対して具体的構成法が得られたという成果により、おおむね達成されていると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、ゼータ関数の加法的分解と関連する正準系のハミルトニアンの具体的構成に関連した研究を、初年度に得られた手法を参考にして引き続き進めると共に、新たなハミルトニアンの構成法や、ゼータ正規化行列式の理論、ランダム行列理論といった他の理論との関わりについての考察を進める。
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Research Products
(5 results)
