2016 Fiscal Year Annual Research Report
Additive decomposition and positivity for zeta functions
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25800007
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
鈴木 正俊 東京工業大学, 理学院, 准教授 (30534052)
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2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 数論 / ゼータ関数 / 零点分布 / 正準系 / ハミルトニアン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度までの研究によって，フーリエ変換型の整関数に対して，ある種の正準系とそのハミルトニアンを，もとの整関数から積分核を明示的に記述できるようなコンパクトな積分作用素の族を用いて具体的に構成する手法が確立された．
そこで，本年度は，多くの数論的ゼータ関数が適当な完備化によってフーリエ変換型の整関数となることを踏まえて，適当に完備化された数論的ゼータ関数から生ずる正準系とそのハミルトニアンの性質を詳しく調べることを行った．また，このようにして得られる正準系について，もとの数論的ゼータ関数を復元することを可能にするような解を具体的に構成することも行った．こういった研究の成果として，リーマンゼータ関数やディリクレＬ関数などの典型的なゼータ関数・Ｌ関数を含むような非常に広い数論的ゼータ関数・Ｌ関数のクラスに対して，一般化されたリーマン予想（零点分布に関する重要な未解決問題）の同値条件を，正準系のハミルトニアンとその解の性質として記述することに成功した．
上で述べたような結果は，大域的ゼータ関数・Ｌ関数に関する結果であるが，この理論の枠組みでみると，この課題の初期の研究に得られた結果は，有限素点に関する局所的ゼータ関数・Ｌ関数から生ずる正準系のハミルトニアンを構成しているものともとみなせる．この観点に立って，そのような初期の結果を，有限素点に関する局所的ゼータ関数・Ｌ関数の有限積の場合にも適用できるように一般化することも行った．
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| Remarks |
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