分離商と純非分離商を用いた代数曲線束の研究

2014 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25800018
• Research Institution: Kobe University
• Principal Investigator: 三井 健太郎 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (70644889)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: 曲面 / 正標数 / 商特異点 / 特異点解消 / トーリック幾何

Outline of Annual Research Achievements

正標数の分離商に関して次の結果が得られた．正標数基礎体の標数をpとする．位数がpで割り切れる有限群が曲面に作用している場合，その商特異点についてわかっていることは少なかった．該当年度の研究により，有限群の位数が丁度一回だけpで割れ，さらにその群による作用が二軸に分かれている場合に，具体的な特異点解消の方法が得られた．またこれにより，この商特異点に付随する不変量の計算が可能となった．
標数が零の場合には，この種の特異点はHirzebruch-Jung特異点と呼ばれている．この特異点はトーリック多様体を応用して特異点解消することができる，こうして得られた特異点解消に現れる例外因子は正規交差しており，その条件を満たす特異点解消の中で極小である．このような特異点解消は極小良特異点解消と呼ばれている．またこのとき，Hirzebruch-Jung連分数と呼ばれる連分数を用いて，特異点解消に現れる例外因子の自己交点数を計算することができる．
今回の研究により標数が正の場合にも，これと類似した特異点解消を得ることができた．この特異点解消は極小良特異点解消であり，例外因子の自己交点数は丁度三つのHirzebruch-Jung連分数を用いいて計算することができる．これを実現するために，複素数体上の代数多様体の代数群による商特異点の特異点解消の類似を考えた．これは商を取る前に双有理変換することで商特異点をより扱い易い商特異点に置き換える方法である．今回の方法は，双有理変換の構成にトーリック幾何を応用することで得られた．また今回の結果は，大域的な場合に応用可能な形で局所的な場合に一般化している．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

該当年度の研究により，困難と考えられてきたタイプの商特異点の特異点解消の例が数多く得られた．この例は特殊な場合ではあるが，一般的な場合に向けて予想を立てることが可能となり，有意義な成果であると判断できる．また純非分離商の場合にも類似の特異点解消が可能であると考えられ，今回の例の構成は今後の指針になると期待できる．

Strategy for Future Research Activity

該当年度の研究により曲面の商特異点について理解が進み数多くの例が得られたので，これを基にさらに一般の場合について考える．また，混標数環上の変形を考えることにより，分離商と純非分離商の間の関係について理解を深めていく予定である．さらに，高次元の場合についても研究を進めていく，特に楕円曲面の高次元類似であるアーベル多様体族について，特異点や特殊化の解析により，指数と位数の問題について取り組む予定である．

Causes of Carryover

物品費が予定より少なく済んだため次年度使用額が生じた．

Expenditure Plan for Carryover Budget

次年度の物品費に充てる予定である．