2014 Fiscal Year Research-status Report
代数曲線とアーベル多様体に関する数論アルゴリズムの研究
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25800023
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
内田 幸寛 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (90533258)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 超楕円曲線 / 高さ関数 / ディクソン多項式 / 暗号 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度の研究実績は、主に超楕円曲線上の局所高さ対に関するものと、ディクソン多項式を用いた暗号方式に対する攻撃に関するものである。以下、この2つについて説明する。
1. 前年度に引き続いて、超楕円曲線上の局所高さ対の計算に関する研究を行った。代数曲線およびそのヤコビ多様体の有理点の研究においては、有理点の高さの複雑さを測る高さ関数が重要である。高さ関数の中で良い性質を持つ標準高さ関数は、代数曲線の局所高さ対の和として表すことができる。この方法で超楕円曲線のヤコビ多様体上の標準高さを計算するアルゴリズムがすでに知られているが、既存のアルゴリズムではテータ関数を用いるため、種数が大きいとき計算時間が著しく増加する。本研究ではテータ関数をアーベル積分に置き換えることで計算時間を大幅に削減した。今年度は特に、数値積分アルゴリズムを冪級数によるものに変更することで、精度保証および速度の面で改善があった。
2. 共同研究において、ディクソン多項式を用いた暗号方式に関して、秘密鍵が小さいときの攻撃法を考察した。ディクソン多項式を用いた暗号方式は、RSA暗号やLUC暗号の拡張にあたるものである。RSA暗号には秘密鍵が小さいときの攻撃法として、連分数を用いるものやLLLアルゴリズムを用いるものが知られている。本研究では、これらの攻撃法をディクソン多項式を用いた暗号方式に適用し、RSA暗号の場合と同様の攻撃法が適用できることを確かめた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
超楕円曲線上の局所高さ対の計算アルゴリズムの改良によって、より種数の高い超楕円曲線の標準高さが計算可能となった。代数曲線の有理点の研究において、これは重要な進展であると考えられ、本研究においても重要な役割を果たすと期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
代数曲線の有理点決定には、近年新しいアルゴリズムが開発されてきているため、これを踏まえて代数曲線の有理点に関する研究を行う。また、超楕円曲線暗号についても、超楕円曲線の定義方程式をできるだけ一般的なものにするという観点から研究を行いたい。
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| Causes of Carryover |
当初の予定通り、韓国で行われた国際数学者会議のサテライトカンファレンスである、Algorithmic Number Theory Symposiumに参加したが、その費用が予定を大幅に下回ったことや、他の研究集会等への出張旅費も予定を下回ったことなどから、次年度使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
国内外の研究集会への出張旅費や、計算機実験のための計算機・ソフトウェア購入費用等に用いる計画である。
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