2015 Fiscal Year Research-status Report
代数曲線とアーベル多様体に関する数論アルゴリズムの研究
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25800023
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
内田 幸寛 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (90533258)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 楕円曲線 / 秘密分散 / 不定方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、楕円曲線を用いた秘密分散と、Waringの問題や数値積分公式に関係する不定方程式系について共同研究を行った。以下、この2つについて順に述べる。
1. 秘密分散とは、秘密情報から構成したいくつかの分散情報を参加者に分散し、一部の参加者の分散情報を集めることでもとの秘密情報を復元する方式である。1979年ShamirとBlakleyは独立に秘密分散方式を提案した。Shamirの秘密分散方式は多項式の補間公式を用いて秘密情報を復元するものである。通常の秘密分散では1個の秘密情報を分散するが、複数の秘密情報を一度に分散する秘密分散方式がこれまでに提案されている。また、秘密情報を楕円曲線の点として埋め込むことで秘密情報、分散情報を扱う方式も提案されている。本研究では、これらを組み合わせて、複数の秘密情報を同時に、楕円曲線を用いて分散する方式を提案した。
2. 直交多項式の理論に基づいて定積分の近似値を求めるGauss型数値積分公式を考える。この公式に現れる分点や重みは一般には無理数になるが、近似が悪くなることを許して分点と重みを有理数にする問題を考える。この問題は、Waringの問題に現れるHilbertの恒等式とも関係する。この問題は、分点と重みを変数とする不定方程式系を有理数の範囲で解く問題と見なせるが、一方で、準直交多項式の零点すべてが有理数になるか判定する問題にも帰着される。この問題について、ある条件の下で有理数の分点と重みが存在しないことを、楕円曲線や超楕円曲線の有理点の問題に帰着することで証明した。本研究はさらにより多くの条件下で結果を得ることを目指して現在も進行中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
楕円曲線を用いた秘密分散については、複数の情報を一度に分散する楕円曲線を用いた秘密分散法を提案することができた。この結果は、用いる多項式の補間公式による効率の違いについても明らかにしており、今後の研究においても有益なものと考えられる。また、不定方程式系に関する研究については、有理数解が存在しないことを示すための条件がいくつか得られており、今後の研究においてさらにより一般的な条件下での結果が得られることが期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
不定方程式系に関する研究については、これまでの研究を踏まえて、より多くの条件の下で、有理数解が存在するか判定することを試みる。それとともに、これまで得られた結果を論文にまとめていく予定である。
また、これまでに得られた結果を踏まえて、代数曲線やアーベル多様体の数論アルゴリズム、特に楕円曲線・超楕円曲線に関するものについて提案・改良することを目指す。
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| Causes of Carryover |
日程の都合により予定していた研究集会への参加を取りやめたため、旅費について次年度使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
主に、研究打ち合わせ、研究集会等での研究発表の旅費として使用する計画である。
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