2016 Fiscal Year Annual Research Report
A study of algorithms on the arithmetic of algebraic curves and Abelian varieties
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25800023
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
内田 幸寛 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (90533258)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 超楕円曲線 / 位数計算 / 等分多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、有限体上定義された種数2の曲線の位数計算について研究を行った。
代数曲線暗号において、暗号に用いる曲線の位数を高速に計算することが重要な課題の一つである。位数計算アルゴリズムには、有限体の標数が小さいとき有効なものと、標数が大きいとき有効なものがあるが、ここでは標数が大きいとき有効なアルゴリズムを考察する。有限体の標数が大きい場合のアルゴリズムとして、いくつかの小さい素数lに対して、代数曲線のヤコビ多様体のl等分点がなす群を考え、その群へのフロベニウス写像の作用を用いる方法がある。この方法は楕円曲線や、種数2の超楕円曲線で虚モデルを持つ（超楕円曲線が有理的なワイエルシュトラス点を持つ）場合には実装されていたが、それ以外の場合には理論的な結果しかなかった。
本研究では、種数2の超楕円曲線で実モデルを持つ場合について、位数計算アルゴリズムの実装に向けて研究を行った。その結果、研究代表者が以前に得ていたクンマー曲面上の乗法公式を用いることで位数計算アルゴリズムが構成できることがわかった。また、この新しいアルゴリズムの計算量は虚モデルを持つ場合と漸近的に同等であることが証明できた。一方、このアルゴリズムを実装するにあたって、既存のアルゴリズムで用いられている様々な最適化、例えば高速な終結式の計算や、剰余環を考えることによる多項式因数分解の回避などを適用できるか検討する必要があり、これは今後の課題である。
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Research Products
(2 results)
