2013 Fiscal Year Research-status Report
アーベル多様体のモジュライの有理点とその周辺に関する研究
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25800025
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
新井 啓介 東京電機大学, 工学部, 助教 (80422393)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 志村曲線 / 有理点 / ガロア表現 / アーベル多様体 |
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| Research Abstract |
有理点問題は、多項式の有理数解（あるいは固定された体における解）を求めるという意味で、数論において古典的かつ基本的な重要課題である。例えば、フェルマー予想も有理点問題とみなすことができる。一方で、モジュライの有理点問題は、モジュライを定義する多項式の解を求めることに加えて、モジュライの有理点と対応する幾何的対象を分類するという意味付けもあり、数論幾何における最重要課題のうちの１つである。
アーベル多様体に伴うガロア表現や、そこから生じる指標は、そのアーベル多様体の自己準同型環による制限を強く受ける。そのガロア表現に現れる指標のパターンを決定した。さらに、その結果を生かして、レベル構造ありとなしの志村曲線に関する有理点を決定する方法を得た。モジュライの有理点と対応する幾何的対象のfield of definitionと、その点のfield of moduliは一般に異なるのであるが、field of definitionをうまく制御することにより、新たな成果を生むことができた。さらに、具体的な数値例も得ることができ、研究成果の可視化を進めることができた。
今年度の成果は、有理点問題における新たな成果を生んだというだけでなく、（従来の手法を発展させる）新たな手法を開発したことにもなり、今後の研究の進展にもつながる可能性を大きくはらんでいる。同時に、従来の手法の有用性を再確認したことにもなる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
ガロア群の指標の分類を用い、有理点のfield of moduliとfield of definitionのずれを制御して、志村曲線の有理点を決定するための判定法を複数個得ることができたから。
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| Strategy for Future Research Activity |
国内外の識者らと活発に交流、あるいは関連分野の研究集会に積極的に参加して情報収集に努めることにより、様々なモジュライの有理点を扱えるようにし、有理点の一般的なあり方の見通しを立てる。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
物品購入等をしなかったため。
パソコン関連物品の購入、書籍の購入、文具類の購入、出張旅費、人件費等
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