2014 Fiscal Year Research-status Report
パラメータ付き方程式系の数式処理を用いた孤立特異点の研究
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25800029
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
渋田 敬史 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 助教 (40648200)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 孤立特異点 / 局所コホモロジー / 偏微分方程式系 / マトリス双対 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
原点に孤立特異点を持つ超曲面の，解析的性質を計算代数を用いて解析する研究を行った。特に位相的な性質が変わらない特異点の変形において，特異点の解析的性質がどのように変化するかに興味を持って研究を行った。特異点の変形において，ヤコビイデアルの剰余環の長さによって定義される，ミルナー数と呼ばれる重要な不変量が知られており，変数が３でない場合は，ミルナー数が不変な変形の位相的性質は変わらないことが知られている。ヤコビイデアルの剰余環の同型類が重要な不変量であることは知られているが，一般に環の同型を判定することは困難であり，計算には向かない。本研究では，ヤコビイデアルと用いて定義される，計算が可能であると思われる，田島-中村によって定義された不変量の列を計算するアルゴリズムの構成と実装を行った。この不変量はヤコビイデアルによって消される代数的局所コホモロジー類全体の生成元が満たす線形偏微分方程式系の階数を制限したものによって定義され，0番目がミルナー数に一致する。代数的局所コホモロジー類が満たす，階数が指定されて数以下の偏微分方程式系を求めることは，単純に考えれば線形方程式を解くことに帰着されるが，マトリス双対を用いることによって，行列の像の計算に帰着することを示し，また，その像の生成元を並べた行列にガウスの消去法を適用することによって，方程式系の標準基底を求めることを示した。これらのアルゴリズムは数式処理システムRisa/Asir上に実装した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
原点に孤立特異点を持つ平面曲線に対して，ヤコビイデアルによって消される線形偏微分方程式系の指定された階数を計算するアルゴリズムと，それを用いて田島-中村によって定義された不変量を計算するアルゴリズムを実装し，その成果を国際会議にて発表した。現在は実験及びアルゴリズムの改良を行っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
これからは実験及びアルゴリズムの改良を行っていく。特に平面代数曲線の場合と擬斉次孤立特異点でインナーモダリティーが４以下の場合の実験を行う。
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