2013 Fiscal Year Research-status Report
同次元間安定写像上の2,3次元閉多様体の復元と埋め込み, はめ込みリフトの分類
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25800032
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Hirosaki University |
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Principal Investigator |
山本 稔 弘前大学, 教育学部, 准教授 (40435475)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | はめ込みの拡張 / 折り目写像 |
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| Research Abstract |
本年度は主に次の研究を行った．
(1) 向き付けられた閉曲面Sから3次元空間へのはめ込みを，Sを境界に持つ3次元多様体Mから3次元空間へのはめ込みにいつ拡張されるかという問題について，Sから平面への安定写像を用いる事で拡張されるための必要十分条件を与えた．またMからのはめ込みとして同値で無いものの判定法も同時に与えた．これによりSからの同じはめ込みに対し，微分同相でない3次元多様体からの2つの拡張を持つ例，微分同相なMから正則ホモトピックではあるが同値ではない2つの拡張を持つ例を構成した．
(2) 3次元球面から3次元空間への折り目写像で，折り目特異点が2つの2次元球面になるものが存在することがEliashberg, Gromovにより知られている．そこで，球面の裏返しを用いることでこの様な折り目写像を具体的に構成した．さらに折り目特異点が連結な向き付けられた閉曲面である様な折り目写像も具体的に構成した．
(3) 円周から直線への与えられた安定なモース関数fに対し，平面への埋め込みリフトを考える．fを固定したまま埋め込みのアイソトピー類を計算し，ある種のモース関数における埋め込みリフトのアイソトピー類の個数はグラフ理論で出てくるバクスター数と一致することを示した．
以上の研究について(1),(2)はプレプリントにまとめる準備に取りかかっている所である．また(3)に関しては現在学術誌に投稿中である．また今回の研究課題とは直接関係はないが，フィボナッチ数をベキとする数列の周期性について幾つかの結果が得られたため，こちらも現在学術誌に投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
最初の課題であった閉曲面から3次元空間へのはめ込みの拡張問題について一定の成果が得られた．これにより3次元多様体から3次元空間への折り目写像を理解する手段が得られ，3次元球面からの折り目写像の例も幾つか構成出来たためおおむね順調であると判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
閉曲面から3次元空間へのはめ込みの拡張をより深く調べる．具体的には連結な閉曲面からの拡張と非連結な閉曲面からの拡張に差が生じるか考察する．同時に多くの例を構成することで，レンズ空間からの折り目写像の具体例を構成する．また特異点付き閉曲面の拡張についても調べることで，折り目写像だけでなく安定写像を用いて3次元多様体のトポロジーと輪郭面の関係について考察する．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
今年度は校務の関係で研究打合せのため海外に行く事が出来なかったためである．
長期休暇中も校務が入ってはいるが，合間をぬって研究打合せのため海外に行く計画である．
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