2014 Fiscal Year Research-status Report
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25800033
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
見村 万佐人 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (10641962)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Kazhdan 定数 / Kazhdan の性質 (T) / エクスパンダーグラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成26年度は昨年度に引き続き、k-元生成群とその k 元からなる生成系の組（これを marked 群という）を集めてできる位相空間「the space of k-marked groups」についての研究を進めた。特に、Kazhdan の性質 (T) と呼ばれる性質から定まる「Kazhdan 定数」の、この位相空間上の振る舞いについて研究した。Shalom や Gromov-Schoen の結果により、性質 (T) は the space of marked groups 上の開性質（つまり、(T) をもつ marked 群全体の集合が開集合である）ことが示されている。Kazhdan 定数は marked 群に対し定まる 0 以上の実数であり、the space of marked groups 上の非負値関数と思える。この定数が真に正であることとその群が性質 (T) をもつことは同値である。今回の研究では、Kazhdan 定数が、the space of k-marked groups 上の関数として下半連続であることを証明した。これは、上記の開性質の定量化を与える。証明は、Kazhdan 定数の定義のままではギャップがあり、性質 (T) の等長作用による同値な特徴づけに着想を得て行なった。より具体的には、一般の完備距離空間の族上の等長作用に対し「距離（非線型）Kazhdan 定数」と名づけた概念を定義し、この定数が特定の状況で the space of marked groups 上で下半連続となること、および、空間族としてヒルベルト空間ならなる族をとったときにこの定数が元の Kazhdan 定数と一致することを示した。以上の結果は、「連結グラフの R-球だけの情報からラプラス固有値の制御ができるか」というグラフの局所・大域剛性に応用がある。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今回の研究では、Kazhdan 定数の the space of marked groups 上の振る舞いを調べることで、固定された R での半径 R のボールの情報だけからケーリーグラフのエクスパンダー性を保証する結果を得ることができた。エクスパンダーの研究においては逆の、局所的な情報だけからではエクスパンダー性が保証されない例が多く知られていた。今回の結果は、特定の状況下ではケーリーグラフのエクスパンダー性に関して局所・大域剛性が成立することを示したもので、ケーリーグラフに対して研究目的の一つを達成したといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の「グラフのエクスパンダー性の局所・大域剛性」はに現在のところケーリーグラフ関するものである。それは the space of marked groups の各元が色つきケーリーグラフに対応しているからである。k-marked 群は k 元生成非可換自由群をその正規部分群で割った商群と思うことができるが、正規性を仮定せず単なる部分群で割ると代わりに基点つき色付きシュライアーグラフが対応する。これらを集めてできる空間にも自然な位相が入る。Kazhdan の性質 (T) や Kazhdan 定数の定義をこの空間に拡張することで、一般の正則グラフに対し、今まで得られた結果を拡張したい。
また、非可換多項式環上の基本行列群から有限体上の特殊線形群の、階数を発散させてできる列に全射がある。元の群の強い固定点性質を示すことで、上記の有限群の無限列からできるケーリーグラフの列の強いエクスパンダー性を示したい。
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Research Products
(8 results)
