2016 Fiscal Year Annual Research Report
Study on actions of discrete groups on graphs and metrics on groups
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25800033
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
見村 万佐人 東北大学, 理学研究科, 助教 (10641962)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 幾何学 / 離散群 / グラフ / 固定点性質 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、以前の年度までに得られている「固定点性質の内在的更新」の深化をおこなった。具体的な内容は以下である。過去年度までの報告者の結果では、「更新」を行なうために必要な、2つの部分固定点集合の間の距離を実現する2点の組を得るために距離超積（metric ultraproduct）を用いる必要があった。その後の議論で必要なのはバナッハ空間の狭義凸性だが、超積での安定性を要請すると、これは実際には一様凸性を課していることになる。一様凸性は狭義凸性と比べてはるかに強い仮定であり、これが過去年度までの報告者の手法を広いクラスのバナッハ空間に適用する際の障害となっていた。本年度は、作用が「変位ギャップ」をもつ、という仮定の元で、距離を実現する2点の組を距離超積を使わずに得る方法をあみだした。
本研究によって、具体的には次の結果が得られた：単位的・結合的有限生成（非可換）環上の次数が4以上のシュタインベルグ群が、（可分無限次元ヒルベルト空間上の）トレースクラス作用素全体のなすバナッハ空間、および、σ有限な測度空間上の可分で反射的なオーリッチ空間に固定点性質をもつ。これらの結果の鍵は、Lancien による「可分な双対バナッハ空間には、同値な狭義凸ノルムで、等長線型作用素を等長のままに保つものが存在する」という結果をもちいる（さらに作用素が前共役から来ている場合、その条件も保つような前共役上のノルムの共役ノルムとして上のノルムをとることができる）。上の結果は狭義凸を一様凸に置き換えると正しくないため、超積を手法から排除できたことが証明で本質的に効いている。トレースクラス作用素への固定点性質は、報告者の結果以前の固定点性質研究の主流の主張である Lafforgue の強い性質 (T) の主張では原理的に示すことができないことが知られており、本研究の意義は大きい。
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Research Products
(9 results)
