Convergence group actions and their depth

2016 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 25800036
• Research Institution: Aoyama Gakuin University
• Principal Investigator: 松田 能文 青山学院大学, 理工学部, 助教 (60549294)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: 収束群作用 / 不変生成 / トンプソン群

Outline of Annual Research Achievements

今年度は群の不変生成(invariable generation)という性質に注目して研究した。
群Gが不変生成であるとは、Gの部分群であってGの任意の共役類との交わりが空でないようなものがGのみであることをいう。任意の有限群は不変生成であることが比較的容易に分かる。一方、無限群については未知の部分が多い。可換群、より一般に可解群が不変生成であることは比較的容易に分かる。一方、非初等的な収束群作用を持つ群は不変生成でないことがGelanderにより示されている。この事実の証明には非可換自由部分群の存在が重要な役割を果たしている。
そこで、可解群ではないが非可換自由部分群を持たない群の代表例であるトンプソン群Fが不変生成であるかについて考察した。その結果、松元重則氏と共同で、トンプソン群Fを含む、直線の区分的線形同相写像のなすいくつかの群が不変生成であることを示し、第一稿をプレプリントサーバーarXivにて公開した。
トンプソン群Fが不変生成であることはGelander-Golan-Juschenkoによっても独立に示されている。彼らはより強く有限不変生成であることを示しているが、その議論はトンプソン群Fの部分群に関する詳細な結果に基づいており他の群に適用するのは難しいと思われる。一方、我々の議論はトンプソン群F特有の性質にはそれほど強く依存しておらず、直線の区分的線形同相写像のなすより多くの群に適用できることが期待される。