2014 Fiscal Year Research-status Report
幾何学的・代数的トポロジーの手法による埋め込みの空間の研究
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25800038
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
境 圭一 信州大学, 学術研究院理学系, 助教 (20466824)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | トポロジー / 埋め込みのなす空間 / Haefliger不変量 / グラフ / 配置空間 / 多重ループ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成26年度の主な成果は以下の通りである．
j次元球面からn次元球面への埋め込み，あるいは対応する次元のlong embedding全体のなす空間K(n,j)を考える．Haefliger, Milgram らにより，Kの弧状連結成分の集合の決定，すなわち埋め込みのイソトピーによる分類は，n-jが3以上のときには，(n-j)次元球面の自己ホモトピー同値のなす位相群G(n-j), 懸垂によるG(n-j)の安定化Gと，それらの部分群である直交群との（相対）ホモトピー群の計算に帰着されている．同じ次元の条件の下でこの結果を拡張したのが主な実績である．すなわち，上記の球面の自己ホモトピー同値のなす位相群たちがなす図式のホモトピーファイバーを取って得られる空間T(n,j)のj回ループ空間のホモトピー群が，K(n,j)のホモトピー群と(2n-2j-5)次以下において同型であることが示せた．0次ホモトピー群に注目すれば，上記の Haefliger や Milgram の結果を復元する．また，埋め込みのconcordanceに対応する"block category"と呼ばれる単体的集合において対応する空間を考えれば、K(n,j)からT(n,j)のループ空間への写像が存在することも示せた．
証明には，スピニング写像によるK(n,j)の低次ホモトピー群の記述と、研究代表者が以前に示した，埋め込みの空間の多重ループ空間の構造を援用する．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的の柱の一つとして，埋め込みの空間のトポロジーについて，多重ループ空間の構造からホモトピー論的にアプローチしたい，というものがある．平成26年度の成果は，ある位相空間の図式のホモトピーファイバーの多重ループ空間で埋め込みの空間を近似できた，と言い換えることもできる．解決すべき問題はまだ多くありながらも，研究目的の達成に向けて着実に前進しているものと考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成26年度に考察した埋め込みの空間のホモトピー群の記述については，まだ群の同型があることがわかるのみで，位相空間レベルの連続写像から導かれるものかは判然としない．埋め込みの空間を近似するモデルが得られているか，という観点から，この点は解決すべき重要な問題である．
埋め込みの空間のトポロジーをホモトピー論の立場から調べる上で重要な手法として，Goodwillie-Weiss による関手の微積分がある．研究代表者の最近の研究で得られている埋め込みの空間のモデルが，関手の微積分から得られるモデルとどのような関係を持つか，は非常に重要であると考えられる．
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| Causes of Carryover |
当初計画で見込んだよりも，招待講演等，支出を必要としない出張が多かったため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度使用額は27年度使用額と合わせて，計画通りの使用のほか，研究代表者が世話人を務める国際研究集会「Braids, Configuration Spaces and Quantum Topology」における研究者の招へいなどにも使用したい．なお，この研究集会のテーマは，本課題でも重要な「有限型不変量」にも深く関わるものである．
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