2013 Fiscal Year Research-status Report
測度の集中現象のLaplacianの解析学と幾何学への応用
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25800042
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
船野 敬 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (40614144)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | ラプラシアン / 測度の集中現象 / 最適輸送 / リッチ曲率 |
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| Research Abstract |
本年度は非負リッチ曲率を持った閉リーマン多様体上のラプラシアンの固有値の分布について研究を行った。ラプラシアンの固有値の分布は多様体上で解析学を行う際に重要となるばかりではなく、直径・体積・曲率・閉測地線などといった幾何学的量と密接に関係していて幾何学的にも重要である。特に、２次元の場合はラプラシアンの固有値の分布により向き付可能多様体は位相的に決定される。最適輸送理論と測度の集中現象を用いることによりラプラシアンの第1固有値と第k固有値の間の次元普遍不等式を得ることができた。また完備リーマン多様体の滑らかな境界を持つ凸領域に対してノイマン条件を課したラプラシアンを考えた際に、同様の方法により第１固有値と第k固有値の間の次元普遍不等式を得ることができた。この不等式はユークリッド空間内の凸領域に対しても新しい。更にこれらの結果を合わせることにより、直径とラプラシアンの固有値の間の関係を表したChengの不等式の一般化を得ることができた。また第k固有値と第k+1固有値の関係を調べるために等周定数を一般化した量である多重等周定数なる量を多様体上で考察した。熱半群の方法を用いることにより、非負リッチ曲率を持つ多様体上でこの量はラプラシアンの固有値と同値となることを示した。更に、多重等周定数の間の普遍不等式を得ることができた。また空間を摂動した際のラプラシアンの固有値と多重等周定数の安定性を議論し、一定の結論を得ることができた。
これらの結果を論文としてまとめ現在提出中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
申請書で書いていたことの予想外のことを示したが、申請書に書いてあったアレキサンドロフ空間上のラプラシアンの固有値に関する普遍不等式は得ることができなかった。しかし、アレキサンドロフ空間上でも今回用いた証明の方針で示せる可能性があるため、上記の達成区分とした。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度得られた非負リーマン多様体上のラプラシアンの固有値の間の普遍不等式は第k固有値と第1固有値の間の関係式であった。今年度はラプラシアンの第k固有値と第k-1固有値の間の関係について調べたい, 特に, これらの比の値が普遍定数で上から押えられるかどうかについて研究を行いたい。また、アレキサンドルフ空間などの特異点を許容するような空間に対して、ラプラシアンの固有値の間の普遍不等式の研究を行いたい。そのために昨年度の手法を見直し、証明の改良を行う予定である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
出張が今年度は少なく、旅費に使用する機会が少なかったため次年度使用額が生じてしまった。
翌年度分として研究打ち合わせのための出張の旅費として使用する。
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